Как упростить квадратный корень

3 методика:Разложение на множителиПолный квадратТерминология

Упростить квадратный корень вовсе не так сложно, как может показаться. Нужно просто разложить число на множители и извлечь из-под знака корня полные квадраты. Запомнив несколько самых распространенных квадратов и научившись раскладывать число на множители, вы сможете запросто упрощать квадратные корни.

Шаги

Метод 1 из 3: Разложение на множители

1. 1 Цель упрощения квадратного корня – это переписать его в такой форме, которую проще использовать в вычислениях. Разложение числа на множители – это нахождение двух или нескольких чисел, которые при перемножении дадут исходное число, например, 3 х 3 = 9. Найдя множители, вы сможете упростить квадратный корень или вообще избавиться от него. Например, √9 = √(3x3) = 3.
2. 2 Если подкоренное число четное, разделите его на 2. Если подкоренное число нечетное, попробуйте разделить его на 3 (если число на 3 не делится, делите его на 5, 7 и так далее по списку простых чисел). Делите подкоренное число исключительно на простые числа, так как любое число можно разложить на простые множители. Например, вам не нужно делить подкоренное число на 4, так как 4 делится на 2, а вы уже разделили подкоренное число на 2.
   • 2
   • 3
   • 5
   • 7
   • 11
   • 13
   • 17
3. 3 Перепишите задачу как корень из произведения двух чисел. Например, упростим √98: 98 ÷ 2 = 49, поэтому 98 = 2 x 49. Перепишите задачу так: √98 = √(2 x 49).
4. 4 Продолжите разложение чисел до тех пор, пока под корнем не останется произведение двух одинаковых чисел и других чисел. Это имеет смысл, если задуматься о смысле квадратного корня: √(2 х 2) равен числу, которое, будучи умноженным само на себя, будет равно 2 х 2. Очевидно, что это число 2! Повторите описанные выше действия для нашего примера: √(2 х 49).
   • 2 уже максимально упрощено, так как это простое число (см. список простых чисел выше). Поэтому разложите на множители число 49.
   • 49 на 2, 3, 5 не делится. Поэтому переходите к следующему простому числу – 7.
   • 49 ÷ 7 = 7, поэтому 49 = 7 x 7.
   • Перепишите задачу так: √(2 x 49) = √(2 x 7 x 7).
5. 5 Упростите квадратный корень. Так как под корнем находится произведение 2 и двух одинаковых чисел (7), вы можете вынести такое число за знак корня. В нашем примере: √(2 x 7 x 7) = √(2)√(7 x 7) = √(2) x 7 = 7√(2).
   • Как только под корнем вы получили два одинаковых числа, вы можете остановиться с разложением чисел на множители (если их все еще можно разложить). Например, √(16) = √(4 х 4) = 4. Если вы продолжите разложение чисел на множители, вы получите тот же ответ, но проделаете больше вычислений: √(16) = √(4 х 4) = √(2 х 2 х 2 х 2) = √(2 х 2) √(2 х 2) = 2 х 2 = 4.
6. 6 Некоторые корни можно упрощать многократно. В этом случае числа, выносимые из-под знака корня, и числа, стоящие перед корнем, перемножаются. Например:
   • √180 = √(2 x 90)
   • √180 = √(2 x 2 x 45)
   • √180 = 2√45, но 45 можно разложить на множители и еще раз упростить корень.
   • √180 = 2√(3 x 15)
   • √180 = 2√(3 x 3 x 5)
   • √180 = (2)(3√5)
   • √180 = 6√5
7. 7 Если вы не можете получить два одинаковых числа под знаком корня, то такой корень упростить нельзя. Если вы разложили подкоренное выражение на произведение простых множителей, и среди них нет двух одинаковых чисел, то такой корень упростить нельзя. Например, попробуем упростить √70:
   • 70 = 35 x 2, поэтому √70 = √(35 x 2)
   • 35 = 7 x 5, поэтому √(35 x 2) = √(7 x 5 x 2)
   • Все три множителя являются простыми, поэтому их больше нельзя разложить на множители. Все три множителя разные, поэтому вы не сможете вынести целое число из-под знака корня. Следовательно, √70 упростить нельзя.

Метод 2 из 3: Полный квадрат

1. 1 Запомните несколько квадратов простых чисел. Квадрат числа получается при его возведении во вторую степень, т. е. умножении на само себя. Например, 25 - полный квадрат, потому что 5 x 5 (52) = 25. Запомнив хотя бы десяток полных квадратов, вы сможете быстро упрощать корни. Вот первые десять полных квадратов:
   • 12 = 1
   • 22 = 4
   • 32 = 9
   • 42 = 16
   • 52 = 25
   • 62 = 36
   • 72 = 49
   • 82 = 64
   • 92 = 81
   • 102 = 100
2. 2 Если под знаком квадратного корня вы видите полный квадрат, то избавьтесь от знака корня (√) и запишите квадратный корень этого полного квадрата. Например, если под знаком квадратного корня находится число 25, то такой корень равен 5, так как 25 является полным квадратом.
   • √1 = 1
   • √4 = 2
   • √9 = 3
   • √16 = 4
   • √25 = 5
   • √36 = 6
   • √49 = 7
   • √64 = 8
   • √81 = 9
   • √100 = 10
3. 3 Разложите число под знаком корня на произведение полного квадрата и другого числа. Если вы заметили, что подкоренное выражение можно разложить на произведение полного квадрата и какого-то числа, то вы сэкономите время и усилия. Вот несколько примеров:
   • √50 = √(25 х 2) = 5√2. Если подкоренное число оканчивается на 25, 50 или 75, вы всегда можете разложить его на произведение 25 и какого-то числа.
   • √1700 = √(100 х 17) = 10√17. Если подкоренное число оканчивается на 00, вы всегда можете разложить его на произведение 100 и какого-то числа.
   • √72 = √(9 х 8) = 3√8. Если сумма цифр подкоренного числа равна 9, вы всегда можете разложить его на произведение 9 и какого-то числа.
   • √12 = √(4 х 3) = 2√3. Всегда проверяйте, делятся ли подкоренные числа на 4.
4. 4 Разложите подкоренное число на произведение нескольких полных квадратов. В этом случае вынесите их из-под знака корня и перемножьте. Например:
   • √72 = √(9 x 8)
   • √72 = √(9 x 4 x 2)
   • √72 = √(9) x √(4) x √(2)
   • √72 = 3 x 2 x √2
   • √72 = 6√2

Метод 3 из 3: Терминология

1. 1 √ – это знак квадратного корня.
2. 2 Под знаком корня записывается подкоренное выражение. Например, «25» – это подкоренное выражение (число) в √25.
3. 3 Коэффициент – это число, стоящее перед знаком корня (слева от него). Например, «7» – это коэффициент в 7√2.
4. 4 Множитель - целое число, получаемое при делении другого числа. 2 – множитель 8, так как 8 ÷ 4 = 2, а 3 не является множителем 8, так как 8 на 3 не делится (нацело). 5 – множитель 25, так как 5 x 5 = 25.
5. 5 Упрощение квадратного корня – это нахождение среди множителей подкоренного выражения полных квадратов и их извлечение из-под корня. Например, √98 может быть упрощен до 7√2.

Советы

• Для нахождения полного квадрата (как одного из множителей подкоренного выражения) просто просмотрите список полных квадратов, начиная с полного квадрата, ближайшего к подкоренному числу (и далее в порядке уменьшения). Ища полный квадрат в числе 27, начните с полного квадрата 25, потом 16, и остановитесь на 9.

Предупреждения

• Ни при каких обстоятельствах у вас не должна появиться десятичная дробь!
• Калькуляторы могут быть полезны для вычислений с большими подкоренными числами, но лучше практиковаться в упрощении корней вручную.