Как упрощать составные дроби

2 методика:Упрощение составных дробей через умножение на обратную величинуУпрощение составных дробей, содержащих переменную

Составная дробь – это дробь, у которой в числителе или в знаменателе или и в числителе, и в знаменателе находится дробь. По этой причине составные дроби еще называют многоэтажными дробями. Процесс упрощения составных дробей варьируется от простого к сложному - в зависимости от числа членов выражений, находящихся в числителе и в знаменателе, или от наличия переменных в числителе и в знаменателе.

Шаги

Метод 1 из 2: Упрощение составных дробей через умножение на обратную величину

1. 1 При необходимости упростите и числитель, и знаменатель до одной обыкновенной дроби. Легко упростить составную дробь, у которой и в числителе, и в знаменателе находится одна обыкновенная дробь. Поэтому, если в числителе или в знаменателе данной вам составной дроби находятся несколько дробей или дроби и целые числа, упростите их, чтобы получить по одной дроби и в числителе, и в знаменателе. Для этого потребуется найти наименьший общий знаменатель (НОЗ).
   • Например, дана составная дробь: (3/5 + 2/15)/(5/7 - 3/10). Во-первых, упростим и числитель, и знаменатель этой дроби до одной дроби.
     • Для дробей, находящихся в числителе, НОЗ=15. Поэтому приведем дробь 3/5 к общему знаменателю: 3/5 * 3/3 = 9/15. Перепишем числитель как: 9/15 + 2/15 = 11/15.
     • Для дробей, находящихся в знаменателе, НОЗ=70. Поэтому приведем обе дроби к общему знаменателю: 5/7 * 10/10 = 50/70 и 3/10 * 7/7 = 21/70. Перепишем знаменатель как: 50/70 - 21/70 = 29/70.
     • Таким образом, перепишем составную дробь как: (11/15)/(29/70).
2. 2 Для получения обратной дроби поменяйте местами числитель и знаменатель. Правило: деление первого числа на второе равно умножению первого числа на обратную величину второго числа. Теперь, когда и в числителе, и в знаменателе составной дроби находится по одной дроби, можно воспользоваться этим правилом для упрощения составной дроби. Во-первых, найдите обратную дробь для дроби, находящейся в знаменателе сложной дроби. Для этого поменяйте местами числитель и знаменатель дроби.
   • В нашем примере дробь в знаменателе - это 29/70. Обратная ей дробь – это 70/29.
     • Обратите внимание, что если в знаменателе составной дроби находится целое число, то его обратная величина находится по тем же правилам. Например, если дана составная дробь (11/15)/(29), то обратная величина целого числа 29 (его можно записать как дробь 29/1) есть дробь 1/29.
3. 3 Перемножьте две дроби. Умножьте дробь, находящуюся в числителе составной дроби, на полученную обратную дробь. Для этого отдельно перемножьте их числители и отдельно – знаменатели.
   • В нашем примере: 11/15*70/29. 11*70=770 и 15*29= 435. Итак, результат умножения: 770/435.
4. 4 Упростите полученную дробь, найдя наибольший общий делитель (НОД). НОД – это наибольшее число, на которое делятся и числитель, и знаменатель. Найдите НОД и разделите на него и числитель, и знаменатель.
   • В нашем примере НОД= 5. Таким образом, 770/5=154 и 435/5=87. Упрощенная дробь (и окончательный ответ): 154/87.

Метод 2 из 2: Упрощение составных дробей, содержащих переменную

1. 1 По возможности используйте правило умножения на обратную величину (приведенное выше). Числитель и знаменатель практически любой составной дроби может быть упрощен до одной дроби. Составные дроби, содержащие переменную, не являются исключением; однако, чем сложнее выражение с переменной, тем сложнее его упростить. В случае сложных выражений с переменной (содержащих несколько членов) воспользуйтесь методами упрощения, описанными ниже.
   • Например, составную дробь (1/х)/(х/6) легко упростить через умножение на обратную величину: (1/х)*(6/х)=6/х2.
   • Другой пример: дробь (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))) трудно упростить через умножение на обратную величину. То есть выражения в числителе и в знаменателе будет сложно упростить до одной дроби. Поэтому воспользуйтесь методами упрощения, описанными ниже.
2. 2 Начните с поиска наименьшего общего знаменателя дробей, находящихся и в числителе, и в знаменателе составной дроби. Для этого, как правило, просто перемножьте знаменатели этих дробей.
   • Это легче понять на примере. Попробуем упростить составную дробь: (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))). В этой составной дроби есть дроби (1)/(х +3) и (1)/(х-5). Их наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен (х +3)(х-5).
3. 3 Умножьте и числитель, и знаменатель составной дроби на найденный НОЗ. Другими словами, вы умножите составную дробь на НОЗ/НОЗ (то есть на 1, что не влияет на исходное значение дроби).
   • В нашем примере вы умножите составную дробь (((1)/(х +3)) + х - 10)/(х +4 + ((1)/(х - 5))) на ((х +3)(х-5))/((х +3)(х-5)).
   • Умножьте числитель: (((1)/(x+3)) + x - 10) × (x+3)(x-5)
     • = (((x+3)(x-5)/(x+3)) + x((x+3)(x-5)) - 10((x+3)(x-5))
     • = (x-5) + (x(x2 - 2x - 15)) - (10(x2 - 2x - 15))
     • = (x-5) + (x3 - 2x2 - 15x) - (10x2 - 20x - 150)
     • = (x-5) + x3 - 12x2 + 5x + 150
     • = x3 - 12x2 + 6x + 145
4. 4 Умножьте знаменатель так же, как вы умножили числитель.
   • Умножьте знаменатель: (x +4 +((1)/(x - 5))) × (x+3)(x-5)
     • = x((x+3)(x-5)) + 4((x+3)(x-5)) + (1/(x-5))(x+3)(x-5).
     • = x(x2 - 2x - 15) + 4(x2 - 2x - 15) + ((x+3)(x-5))/(x-5)
     • = x3 - 2x2 - 15x + 4x2 - 8x - 60 + (x+3)
     • = x3 + 2x2 - 23x - 60 + (x+3)
     • = x3 + 2x2 - 22x - 57
5. 5 Запишите новую упрощенную дробь. После умножения исходной составной дроби на НОЗ/НОЗ и приведения подобных членов вы получите обыкновенную дробь. Таким образом, умножив на НОЗ исходную составную дробь, вы избавились от дробей и в числителе, и знаменателе, в которых теперь находятся только целые числа и переменные.
   • Итак, в числитель запишите выражение: x3 - 12x2 + 6x + 145, а в знаменатель - выражение: x3 + 2x2 - 22x - 57. Упрощенная дробь: (x3 - 12x2 + 6x + 145)/(x3 + 2x2 - 22x - 57)

Советы

• Записывайте каждый шаг вычислений. Вы можете легко запутаться в дробях, если не записываете каждый шаг вычислений или делаете их в голове.
• В интернете или в учебнике найдите составные дроби и попрактикуйтесь в их упрощении.