Как упрощать рациональные выражения

3 методика:Рациональное выражение - одночленДробное рациональное выражение (числитель – одночлен, знаменатель – многочлен)Дробное рациональное выражение (числитель и знаменатель – многочлены)

Упрощение рациональных выражений - довольно простой процесс, если оно является одночленом, но придется приложить больше усилий, если рациональное выражение – многочлен. Эта статья расскажет, как упростить рациональное выражение в зависимости от его типа.

Шаги

Метод 1 из 3: Рациональное выражение - одночлен

1. 1 Изучите задачу.[1] Рациональные выражения - одночлены легче всего упростить: все что вам нужно сделать - это уменьшить числитель и знаменатель до несокращаемых величин.
   • Пример: 4x/8x^2
2. 2 Сократите одинаковые переменные. Если переменная находится и в числителе, и в знаменателе, вы можете сократить эту переменную соответствующим образом.
   • Если переменная находится и в числителе, и в знаменателе в одинаковой степени, то такая переменная сокращается полностью: х/х = 1
   • Если переменная находится и в числителе, и в знаменателе в разных степенях, то такая переменная сокращается соответствующим образом (меньший показатель вычитается из большего): х^4/х^2 = х^2/1
   • Пример: х/х^2 = 1/х
3. 3 Сократите коэффициенты до несокращаемых величин. Если численные коэффициенты имеют общий делитель, разделите на него такие коэффициенты и в числителе, и в знаменателе: 8/12 = 2/3.
   • Если коэффициенты рационального выражения не имеют общих делителей, то они не сокращаются: 7/5.
   • Пример: 4/8 = 1/2.
4. 4 Запишите окончательный ответ. Для этого объедините сокращенные переменные и сокращенные коэффициенты.[2]
   • Пример: 4x/8x^2 = 1/2x

Метод 2 из 3: Дробное рациональное выражение (числитель – одночлен, знаменатель – многочлен)

1. 1 Изучите задачу. Если одна часть рационального выражения является одночленом, а другая - многочленом, возможно, потребуется упростить выражение через некоторый делитель, который может быть применен и к числителю, и к знаменателю.
   • Пример: (3x)/(3x+6x^2)
2. 2 Сократите одинаковые переменные. Для этого вынесите переменную за скобки.
   • Это сработает, только если переменную содержит каждый член многочлена: х/х^3-х^2+х = х/(х(х^2-х+1))
   • Если какой-либо член многочлена не содержит переменную, то вы не сможете вынести ее за скобки: х/х^2+1
   • Пример: х/(х + х^2) = х/(х(1 + х))
3. 3 Сократите коэффициенты до несокращаемых величин. Если численные коэффициенты имеют общий делитель, разделите на него такие коэффициенты и в числителе, и в знаменателе.
   • Обратите внимание, что это сработает только в том случае, если все коэффициенты в выражении имеют один делитель: 9/(6 - 12) = (3*3)/(3/(2 - 4))
   • Это не сработает, если любой из коэффициентов в выражении не имеет подобного делителя: 5/(7 + 3)
   • Пример: 3/(3+6) = (3*1)/(3(1 + 2))
4. 4 Объедините переменные и коэффициенты. Объедините переменные и коэффициенты с учетом членов, вынесенных за скобку.
   • Пример: (3x)/(3x+6x^2) = (3x*1)/(3x(1+2х))
5. 5 Запишите окончательный ответ. Для этого сократите подобные члены.
   • Пример: (3x*1)/(3x(1+2х))=1/(1+2х)

Метод 3 из 3: Дробное рациональное выражение (числитель и знаменатель – многочлены)

1. 1 Изучите задачу. Если и в числителе, и в знаменателе рационального выражения находятся многочлены, то вам нужно разложить их на множители.
   • Пример: (х^2 - 4)/(х^2-2x-8)
2. 2 Разложите числитель на множители. Для этого вычислите переменную х.
   • Пример: (х^2 - 4) = (х - 2)(х + 2)
     • Для вычисления х вам нужно обособить переменную на одной стороне уравнения: х^2=4.
     • Извлеките квадратный корень из свободного члена и из переменной: √х^2 = √4
     • Помните, что квадратный корень из любого числа может быть положительным и отрицательным. Таким образом, возможными значениями х являются:-2 и +2.
     • Итак, разложение (х^2-4) на множители записывается в виде: (х-2)(х+2)
   • Проверьте правильность разложения на множители, перемножив члены в скобках.
     • Пример: (х - 2)(х + 2) = х^2+2x-2x-4 = х^2-4
3. 3 Разложите знаменатель на множители. Для этого вычислите переменную х.
   • Пример: (х^2-2x-8) = (х+2)(х-4)
     • Для вычисления х перенесите все члены, содержащие переменную, на одну сторону уравнения, а свободные члены – на другую: х^2-2x = 8.
     • Возведите в квадрат половину коэффициента при х в первой степени и прибавьте полученное значение к обеим сторонам уравнения:х^2-2x+1 = 8+1.
     • Упростите левую часть уравнения, записав ее в виде полного квадрата: (х-1)^2 = 9.
     • Возьмите квадратный корень из обеих сторон уравнения: х-1 = ±√9
     • Вычислите х: х = 1±√9
     • Как в любом квадратном уравнении, х имеет два возможных значения.[3]
     • x = 1-3 = -2
     • x = 1+3 = 4
     • Таким образом, многочлен (х^2-2x-8) раскладывается на множители (х+2)(х-4).
   • Проверьте правильность разложения на множители, перемножив члены в скобках.
     • Пример: (х+2)(х-4) = х^2-4x+2x-8 = х^2-2x-8
4. 4 Определите подобные выражения в числителе и в знаменателе.
   • Пример: ((х-2)(х+2))/((х+2)(х-4)). В данном случае подобным выражением является (х+2).
5. 5 Запишите окончательный ответ. Для этого сократите подобные выражения. [4]
   • Пример: (х^2 - 4)/(х^2-2x-8) = ((х-2)(х+2))/((х+2)(х-4)) = (х-2)/(х-4)

Что вам понадобится

• Калькулятор
• Карандаш
• Бумага