Как упрощать алгебраические выражения

3 методика:Приведение подобных членовВынесение множителя за скобкиДополнительные методы упрощения

Упрощение алгебраических выражений является одним из ключевых моментов изучения алгебры и чрезвычайно полезным навыком для всех математиков. Упрощение позволяет привести сложное или длинное выражение к простому выражению, с которым легко работать. Базовые навыки упрощения хорошо даются даже тем, кто не в восторге от математики. Соблюдая несколько простых правил, можно упростить многие из наиболее распространенных типов алгебраических выражений без каких-либо специальных математических знаний.

Шаги

Важные определения

1. 1 Подобные члены. Это члены с переменной одного порядка, члены с одинаковыми переменными или свободные члены (члены, не содержащие переменную). Другими словами, подобные члены включают одну переменную в одной и той же степени, включают несколько одинаковых переменных или не включают переменную вовсе. Порядок членов в выражении не имеет значения.
   • Например, 3x2 и 4x2 - это подобные члены, так как они содержат переменную «х» второго порядка (во второй степени). Однако х и x2 не являются подобными членами, так как содержат переменную «х» разных порядков (первого и второго). Точно так же -3yx и 5хz не являются подобными членами, так как содержат разные переменные.
2. 2 Разложение на множители. Это нахождение таких чисел, произведение которых приводит к исходному числу. Любое исходное число может иметь несколько множителей. Например, число 12 может быть разложено на следующий ряд множителей: 1 × 12, 2 × 6 и 3 × 4, поэтому можно сказать, что числа 1, 2, 3, 4, 6 и 12 являются множителями числа 12. Множители совпадают с делителями, то есть числами, на которые делится исходное число.
   • Например, если вы хотите разложить на множители число 20, запишите это так: 4 × 5.
   • Обратите внимание, что при разложении на множители переменная учитывается. Например, 20x = 4(5x).
   • Простые числа не могут быть разложены на множители, потому что они делятся только на себя и на 1.
3. 3 Запомните и соблюдайте порядок выполнения операций во избежание ошибок.
   • Скобки
   • Степень
   • Умножение
   • Деление
   • Сложение
   • Вычитание

Метод 1 из 3: Приведение подобных членов

1. 1 Запишите выражение. Простейшие алгебраические выражения (которые не содержат дробей, корней и т.п.) можно решить (упростить) всего за несколько шагов.
   • Например, упростите выражение 1 + 2x - 3 + 4x.
2. 2 Определите подобные члены (члены с переменной одного порядка, члены с одинаковыми переменными или свободные члены).
   • Найдите подобные члены в этом выражении. Члены 2x и 4x содержат переменную одного порядка (первого). Кроме того, 1 и -3 – это свободные члены (не содержат переменную). Таким образом, в этом выражении члены 2х и 4x являются подобными, и члены 1 и -3 тоже являются подобными.
3. 3 Приведите подобные члены. Это значит сложить или вычесть их и упростить выражение.
   • 2x + 4x = 6х
   • 1 - 3 = -2
4. 4 Перепишите выражение с учетом приведенных членов. Вы получите простое выражение с меньшим количеством членов. Новое выражение равно исходному.
   • В нашем примере: 1 + 2x - 3 + 4x = 6х - 2, то есть исходное выражение упрощено и с ним легче работать.
5. 5 Соблюдайте порядок выполнения операций при приведении подобных членов. В нашем примере было легко привести подобные члены. Однако в случае сложных выражений, в которых члены заключены в скобки и присутствуют дроби и корни, привести подобные члены не так просто. В этих случаях соблюдайте порядок выполнения операций.
   • Например, рассмотрим выражение 5(3x - 1) + х((2x)/(2)) + 8 - 3x. Здесь было бы ошибкой сразу определить 3x и 2x как подобные члены и привести их, потому что сначала необходимо раскрыть скобки. Поэтому выполните операции согласно их порядку.
     • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
     • 15x - 5 + x(x) + 8
     • 15x - 5 + x2 + 8 - 3x. Теперь, когда в выражении присутствуют только операции сложения и вычитания, вы можете привести подобные члены.
     • x2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
     • x2 + 12x + 3

Метод 2 из 3: Вынесение множителя за скобки

1. 1 Найдите наибольший общий делитель (НОД) всех коэффициентов выражения. НОД – это наибольшее число, на которое делятся все коэффициенты выражения.
   • Например, рассмотрим уравнение 9x2 + 27x - 3. В этом случае НОД=3, так как любой коэффициент данного выражения делится на 3.
2. 2 Разделите каждый член выражения на НОД. Полученные члены будут содержать меньшие коэффициенты, чем в исходном выражении.
   • В нашем примере разделите каждый член выражения на 3.
     • 9x2/3 = 3x2
     • 27x/3 = 9x
     • -3/3 = -1
     • Получилось выражение 3x2 + 9x - 1. Оно не равно исходному выражению.
3. 3 Запишите исходное выражение как равное произведению НОД на полученное выражение. То есть заключите полученное выражение в скобки, а за скобки вынесите НОД.
   • В нашем примере: 9x2 + 27x – 3 = 3(3x2 + 9x - 1)
4. 4 Упрощение дробных выражений с помощью вынесения множителя за скобки. Зачем просто выносить множитель за скобки, как это было сделано ранее? Затем, чтобы научиться упрощать сложные выражения, например дробные выражения. В этом случае вынесение множителя за скобки может помочь избавиться от дроби (от знаменателя).
   • Например, рассмотрим дробное выражение (9x2 + 27x - 3)/3. Воспользуйтесь вынесением множителя за скобки, чтобы упростить это выражение.
     • Вынесите множитель 3 за скобки (как вы делали это ранее): (3(3x2 + 9x - 1))/3
     • Обратите внимание, что теперь и в числителе, и в знаменателе присутствует число 3. Его можно сократить и вы получите выражение: (3x2 + 9x – 1)/1
     • Так как любая дробь, у которой в знаменателе находится число 1, равна просто числителю, то исходное дробное выражение упрощается до: 3x2 + 9x - 1.

Метод 3 из 3: Дополнительные методы упрощения

1. 1 Упрощение дробных выражений. Как отмечалось выше, если и в числителе, и в знаменателе присутствуют одинаковые члены (или даже одинаковые выражения), то их можно сократить. Для этого нужно вынести за скобки общий множитель у числителя, или у знаменателя, или как у числителя, так и у знаменателя. Или можно разделить каждый член числителя на знаменатель и таким образом упростить выражение.
   • Например, рассмотрим дробное выражение (5x2 + 10x + 20)/10. Здесь просто разделите каждый член числителя на знаменатель (10). Но учтите, что член 5x2 не делится на 10 нацело (так как 5 меньше 10).
     • Поэтому запишите упрощенное выражение так: ((5x2)/10) + x + 2 = (1/2)x2 + x + 2.
2. 2 Упрощение подкоренных выражений. Выражения, стоящие под знаком корня, называются подкоренными выражениями. Они могут быть упрощены через их разложение на соответствующие множители и последующий вынос одного множителя из-под корня.
   • Рассмотрим простой пример: √(90). Число 90 можно разложить на следующие множители: 9 и 10, а из 9 извлечь квадратный корень (3) и вынести 3 из-под корня.
     • √(90)
     • √(9×10)
     • √(9)×√(10)
     • 3×√(10)
     • 3√(10)
3. 3 Упрощение выражений со степенями. В некоторых выражениях присутствуют операции умножения или деления членов со степенью. В случае умножения членов с одним основанием их степени складываются; в случае деления членов с одним основанием их степени вычитаются.
   • Например, рассмотрим выражение 6x3 × 8x4 + (x17/x15). В случае умножения сложите степени, а в случае деления – вычтите их.
     • 6x3 × 8x4 + (x17/x15)
     • (6 × 8)x3 + 4 + (x17 - 15)
     • 48x7 + x2
   • Далее приведено объяснение правила умножения и деления членов со степенью.
     • Умножение членов со степенями равносильно умножению членов на самих себя. Например, так как x3 = x × x × x и x 5 = x × x × x × x × x, то x3 × x5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), или x8.
     • Аналогично, деление членов со степенями равносильно делению членов на самих себя. x5/x3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Так как подобные члены, находящиеся и в числителе, и в знаменателе, могут быть сокращены, то в числителе остается произведение двух «х», или x2.

Советы

• Упрощать алгебраические выражения нелегко, но если вы набьете в этом руку, вы сможете использовать этот навык всю жизнь.
• Попросите о помощи, если это необходимо!
• Всегда помните о знаках (плюс или минус), стоящих перед членами выражения, так как многие испытывают затруднения с выбором правильного знака.

Предупреждения

• Убедитесь, что операции выполняются в правильном порядке.
• Всегда ищите подобные члены и не ошибитесь с их выбором из-за степени.