Как умножать корни

3 методика:Умножение корней без множителейУмножение корней с множителямиУмножение корней с разными показателями

Знак корня (√) означает квадратный корень из некоторого числа. Знак корня встречается не только в алгебре, но и в повседневной жизни, например, в деревообрабатывающем производстве, которое включает расчет относительных размеров. Вы можете умножить два любых корня с одинаковыми показателями (степени корня). Если у корней разные показатели, необходимо привести корни к одному показателю. Если вы хотите узнать, как умножить корни с или без множителей, прочитайте эту статью.

Шаги

Метод 1 из 3: Умножение корней без множителей

1. 1 Убедитесь, что корни имеют одинаковый показатель (степень). Степень записывается слева над знаком корня. Если степени нет, то корень считается квадратным (то есть его степень 2) и его можно умножить на другие квадратные корни (об умножение корней с разными показателями читайте далее). Вот несколько примеров умножения корней с одинаковыми показателями:
   • Пример 1: √(18) x √(2) = ?
   • Пример 2: √(10) x √(5) = ?
   • Пример 3: 3√(3) x 3√(9) = ?
2. 2 Перемножьте числа под корнем. Вот как это делается:
   • Пример 1: √(18) x √(2) = √(36)
   • Пример 2: √(10) x √(5) = √(50)
   • Пример 3: 3√(3) x 3√(9) = 3√(27)
3. 3 Упростите подкоренное выражение. При умножении корней полученное подкоренное выражение можно упростить (не всегда) до произведения некоторого числа (или выражения) на полный квадрат или куб. Вот как это делается:
   • Пример 1: √(36) = 6. 36 является квадратом числа 6, потому что 6*6=36.
   • Пример 2: √(50) = √(25*2) = √([5*5]*2) = 5√(2). Число 50 можно разложить на произведение чисел 25 и 2. Корень из 25 равен 5, поэтому выносим 5 за знак корня и таким образом упрощаем подкоренное выражение.
     • Если внести число 5 обратно под знак корня, оно возводится в квадрат и вы получаете число 25 под знаком корня.
   • Пример 3: 3√(27) = 3. Кубический корень из числа 27 равен 3, потому что 3*3*3 = 27.

Метод 2 из 3: Умножение корней с множителями

1. 1 Умножьте множители. Множитель – число, стоящее перед знаком корня. Если его нет, то множитель равен 1. Перемножьте множители. Вот как это делается:
   • Пример 1: 3√(2) x √(10) = 3√(?)
     • 3 x 1 = 3
   • Пример 2: 4√(3) x 3√(6) = 12√(?)
     • 4 x 3 = 12
2. 2 Умножьте числа под знаком корня. После того, как вы перемножили множители, перемножьте числа под знаком корня. Вот как это делается:
   • Пример 1: 3√(2) x √(10) = 3√(2 x 10) = 3√(20)
   • Пример 2: 4√(3) x 3√(6) = 12√(3 x 6) = 12√(18)
3. 3 Упростите подкоренное выражение. Далее упростите полученные значения под знаком корня, вынеся соответствующие числа за знак корня. После этого просто перемножьте эти вынесенные числа и множители, стоящие перед знаком корня. Вот как это делается:
   • 3√(20) = 3√(4 x 5) = 3√([2 x 2] x 5) = (3 x 2)√(5) = 6√(5)
   • 12√(18) = 12√(9 x 2) = 12√(3 x 3 x 2) = (12 x 3)√(2) = 36√(2)

Метод 3 из 3: Умножение корней с разными показателями

1. 1 Найдите НОК (наименьшее общее кратное) показателей. НОК показателей - наименьшее число, которое делится на оба показателя. Найдите НОК показателей для следующего выражения:3√(5) x 2√(2) = ?
   • Показатели равны 3 и 2. Число 6 является НОК этих двух чисел, потому что это наименьшее число, которое делится без остатка как на 3, так и на 2: 6/3=2 и 6/2=3. Чтобы умножить корни, их показатель должен быть равен 6.
2. 2 Запишите каждый корень с НОК в качестве нового показателя. Вот как записать выражение с новым показателем:
   • 6√(5) x 6√(2) = ?
3. 3 Найдите числа, на которые вы должны умножить каждый исходный показатель, чтобы получить НОК. В выражении 3√(5) вам нужно умножить показатель 3 на 2, чтобы получить 6. В выражении 2√(2) вам нужно умножить показатель 2 на 3, чтобы получить 6.
4. 4 Возведите число, стоящее под знаком корня, в степень равную числу, найденному в предыдущем шаге. Для первого выражения возведите 5 в степень 2. Для второго выражение возведите 2 в степень 3. Вот как это будет выглядеть:
   • 2 --> 6√(5) = 6√(5)2
   • 3 --> 6√(2) = 6√(2)3
5. 5 Проделайте операцию возведения в степень и запишите результат под знаком корня. Вот как это делается:
   • 6√(5)2 = 6√(5 x 5) = 6√25
   • 6√(2)3 = 6√(2 x 2 x 2) = 6√8
6. 6 Перемножьте числа под знаком корня: 6√(8 x 25)
7. 7 Запишите ответ. 6√(8 x 25) = 6√(200). В некоторых случаях вы можете упростить подкоренное выражение, например, найдя множитель числа 200, из которого можно взять корень 6 степени. Но в данном случае выражение не упрощается.

Советы

• Знак корня является еще одним способом записи дробных показателей. Например, квадратный корень из любого числа есть это число в степени 1/2; кубический корень из любого числа есть это число в степени 1/3 и так далее.
• Множитель – число, стоящее непосредственно перед знаком корня. Так, например, в выражении 2(квадратный корень)5, число 5 является подкоренным выражением, а число 2 - множителем. Когда множитель и корень записаны рядом, то это означает их умножение: 2*(квадратный корень)5.
• Если «множитель» отделяется от корня знаком плюс или минус, то это уже вообще не множитель - это отдельный член выражения и операции с ним проводятся отдельно от корня.