Как построить параболу

2 части:Построение параболыСдвиг параболы

Парабола представляет собой геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой (директрисы) и данной точки (фокуса). Это двумерная, зеркально-симметричная кривая. Для построения параболы необходимо найти ее вершину и несколько точек по обеим сторонам от вершины.

Шаги

Часть 1 из 2: Построение параболы

1. 1 Терминология. Знание терминологии поможет вам при построении параболы.[1]
   • Фокус параболы – эта точка, от которой равноудалены все точки, лежащие на параболе.
   • Директриса параболы – это прямая, от которой равноудалены все точки, лежащие на параболе.
   • Ось симметрии параболы – это вертикальная линия, проходящая через фокус и вершину параболы перпендикулярно ее директрисе.
   • Вершина параболы – точка пересечения параболы и оси симметрии. Если парабола направлена вверх, то вершина является самой низкой точкой параболы; если парабола направлена вниз, то вершина является самой верхней точкой параболы.
2. 2 Уравнение параболы. Уравнение параболы имеет вид: y=ax2+bx+c. Уравнение параболы также можно записать в виде y = a(x – h)2 + k.
   • Если коэффициент «а» положительный, то парабола направлена вверх, а если коэффициент «а» отрицательный, то парабола направлена вниз. Для запоминания этого правила: при положительном («позитивном») коэффициенте парабола «улыбается» (направлена вверх) и наоборот при отрицательном («негативном») коэффициенте.[2]
   • Например: y = 2x2 -1. Парабола этого уравнения направлена вверх, так как а = 2 (положительный коэффициент).
   • Если в уравнении в квадрат возводится «у», а не «х», то парабола «лежит на боку» и направлена вправо или влево. Например, парабола x2 = y + 3 направлена вправо.
3. 3 Найдите ось симметрии. Ось симметрии параболы – это вертикальная линия, проходящая через вершину параболы. Ось симметрии задается функцией х = n, где n – координата «х» вершины параболы. Для вычисления оси симметрии воспользуйтесь формулой x = -b/2a[3]
   • В нашем примере а = 2, b = 0, с = 1. Подставьте эти значения в формулу: х = -0/(2 х 2) = 0.
   • Ось симметрии х = 0.
4. 4 Найдите вершину. Вычислив ось симметрии, вы нашли координату «х» вершины параболы. Подставьте найденное значение в исходное уравнение, чтобы найти «у». Эти две координаты и есть координаты вершины параболы. В нашем примере подставьте х = 0 в у = 2x2 -1 и получите у = -1. Вершина параболы имеет координаты (0, -1). Более того, это точка пересечения параболы с осью Y (так как х = 0).[4]
   • Иногда координаты вершины обозначаются как (h,k). В нашем примере h = 0, k = -1. Если квадратное уравнение дано в виде y = a(x – h)2 + k, то вы с легкостью находите координаты вершины непосредственно из уравнения (без вычислений).
5. 5 Нарисуйте таблицу с двумя столбцами. В первом столбце будут расположены значения «х», а во втором – значения «у». Это будут координаты точек, лежащих на параболе.
   • «Средним» значением «х» выберите координату «х» вершины параболы.
   • Выше и ниже «среднего» значения «х» напишите по два значения «х» (для симметрии).
   • В вашем примере запишите х = 0 в середине таблицы.
6. 6 Вычислите значения «у». Для этого подставьте значения «х» из таблицы в данное вам уравнение, а затем запишите полученные значения «у» в таблицу.
   • x = -2, y = 2 x (-2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
   • x = -1, y = 2 x (-1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
   • x = 0, y = 2 x (0)2 - 1 = 0 - 1 = -1
   • x = 1, y = 2 x (1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
   • x = 2, y = 2 x (2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
7. 7 Теперь, когда вы нашли координаты пяти точек, вы можете построить график. Вы нашли пять точек с координатами (-2,7), (-1,1), (0,-1), (1,1), (2,7). Обратите внимание, что при симметричных (относительно оси симметрии) значениях «х» значения «у» совпадают, то есть, например, при х = -2 и х = 2 у = 7.
8. 8 Нанесите найденные точки на координатной плоскости. Каждая строка таблицы - это координаты (х,у) одной точки.
   • Ось Х идет влево и вправо; ось Y идет вверх и вниз.
   • Положительные значения по оси Y откладываются вверх от точки (0,0), а отрицательные - вниз от точки (0,0).
   • Положительные значения по оси Х откладываются вправо от точки (0,0), а отрицательные - влево от точки (0,0).
9. 9 Соедините точки U-образной кривой, и вы получите параболу. Соединяйте точки плавной кривой, а не ломаной линией, чтобы получить правильную параболу. [5]

Часть 2 из 2: Сдвиг параболы

Если вы хотите сдвинуть параболу на координатной плоскости без вычисления ее вершины и дополнительных точек, то вам нужно научиться «читать» уравнение параболы. Начните с простейшего уравнения параболы: у = x2. Ее вершина имеет координаты (0,0), а сама парабола направлена вверх. Точки, лежащие на этой параболе, имеют координаты (-1,1), (1,1), (2,4), (2,4) (и так далее). Теперь мы покажем вам, как сдвинуть эту параболу.[6]

1. 1 Сдвиг вверх. Перепишите уравнение так: y = x2 +1, то есть парабола сдвинется вверх на 1 единицу (вершина новой параболы имеет координаты (0, 1). Новая парабола будет иметь такую же форму, как и исходная, но координата «у» каждой точки увеличится на 1 единицу. Таким образом, вместо точек (-1, 1) и (1, 1) вы получите точки (-1, 2) и (1, 2) (и так далее).
2. 2 Сдвиг вниз. Перепишите уравнение так: y = x2 -1, то есть парабола сдвинется вниз на 1 единицу (вершина новой параболы имеет координаты (0, -1). Новая парабола будет иметь такую же форму, как и исходная, но координата «у» каждой точки уменьшится на 1 единицу. Таким образом, вместо точек (-1, 1) и (1, 1) вы получите точки (-1, 0) и (1, 0) (и так далее).
3. 3 Сдвиг влево. Перепишите уравнение так: y = (x+1)2, то есть парабола сдвинется влево на 1 единицу (вершина новой параболы имеет координаты (-1,0). Новая парабола будет иметь такую же форму, как и исходная, но координата «х» каждой точки уменьшится на 1 единицу. Таким образом, вместо точек (-1, 1) и (1, 1) вы получите точки (-2, 1) и (0, 1) (и так далее).
4. 4 Сдвиг вправо. Перепишите уравнение так: y = (x-1)2, то есть парабола сдвинется вправо на 1 единицу (вершина новой параболы имеет координаты (1,0). Новая парабола будет иметь такую же форму, как и исходная, но координата «х» каждой точки увеличится на 1 единицу. Таким образом, вместо точек (-1, 1) и (1, 1) вы получите точки (0, 1) и (2, 1) (и так далее).