Как построить график рациональной функции

Рациональная функция имеет вид у = N(х)/D(х), где N и D - многочлены. Для построения точного графика такой функции понадобятся неплохие знания алгебры, включая дифференциальные вычисления. Рассмотрим следующий пример: y = (2x2 - 6x + 5)/(4x + 2).

Шаги

1. 1 Найдите точку пересечения графика с осью Y. Для этого в функцию подставьте х = 0 и получите у = 5/2. Таким образом, точка пересечения графика с осью Y имеет координаты (0, 5/2). Отложите эту точку на координатной плоскости.
2. 2 Найдите горизонтальные асимптоты. Разделите числитель на знаменатель (в столбик), чтобы определить поведение «у» при значениях «х», стремящихся в бесконечность. В нашем примере результатом деления будет y = (1/2)x - (7/4) + 17/(8x + 4). При больших положительных или отрицательных значениях «х» 17/(8x + 4) стремится к нулю, а график приближается к прямой, заданной функцией y = (1/2)x - (7/4). Используя пунктирную линию, постройте график этой функции.
   • Если степень числителя меньше степени знаменателя, то вы не сможете поделить числитель на знаменатель и асимптота опишется функцией у = 0.
   • Если степень числителя равна степени знаменателя, то асимптота является горизонтальной прямой, равной отношению коэффициентов при «х» в высшей степени.
   • Если степень числителя на 1 больше степени знаменателя, то асимптота представляет собой наклонную прямую, угловой коэффициент которой равен отношению коэффициентов при «х» в высшей степени.
   • Если степень числителя больше степени знаменателя на 2, 3 и т.д., то при больших значениях |х| значения у стремятся в бесконечность (положительную или отрицательную) в виде квадратного, кубического или другой степени многочлена. В этом случае, скорее всего, не нужно строить точный график функции, полученной при делении числителя на знаменатель.
3. 3 Найдите нули функции. Рациональная функция имеет нули, когда ее числитель равен нулю, то есть N(х) = 0. В нашем примере 2x2 - 6x + 5 = 0. Дискриминант этого квадратного уравнения: b2 - 4ac = 62 - 4*2*5 = 36 - 40 = -4. Так как дискриминант отрицательный, то N(х), а следовательно и F (х) не имеет действительных корней. График рациональной функции не пересекает ось Х. Если у функции есть нули (корни), то отложите их на координатной плоскости.
4. 4 Найдите вертикальные асимптоты. Для этого приравняйте знаменатель к нулю. В нашем примере 4x + 2 = 0 и х = -1/2. Постройте график вертикальной асимптоты, используя пунктирную линию. Если при некотором значении х N(х) = 0 и D(х) = 0, то вертикальная асимптота либо существует, либо не существует (это редкий случай, но лучше помнить о нем).
5. 5 Посмотрите на остаток от деления числителя на знаменатель. Он положительный, отрицательный или равен нулю? В нашем примере остаток равен 17, то есть он положительный. Знаменатель 4x + 2 положительный справа от вертикальной асимптоты и отрицательный слева от нее. Это означает, что график рациональной функции при больших положительных значениях х приближается к асимптоте сверху, а при больших отрицательных значениях х – снизу. Так как 17/(8x + 4) никогда не равна нулю, то график этой функции никогда не пересечет прямую, заданную функцией у = (1/2)х - (7/4).
6. 6 Найдите локальные экстремумы. Локальный экстремум существует при N'(x)D(x)- N(x)D'(x) = 0. В нашем примере N'(x) = 4x - 6 и D'(x) = 4. N'(x)D(x) - N(x)D'(x) = (4x - 6)(4x + 2) - (2x2 - 6x + 5)*4 = x2 + x - 4 = 0. Решив это уравнение, вы найдете, что x = 3/2 и x = -5/2. (Это не совсем точные значения, но они подойдут для нашего случая, когда сверхточность не нужна.)
7. 7 Найдите значение у для каждого локального экстремума. Для этого подставьте значения х в исходную рациональную функцию. В нашем примере f(3/2) = 1/16 и f(-5/2) = -65/16. Отложите точки (3/2, 1/16) и (-5/2, -65/16) на координатной плоскости. Так как вычисления основаны на приблизительных значениях (из предыдущего шага), найденные минимум и максимум тоже не совсем точные (но, вероятно, очень близки к точным значениям). (Точка (3/2, 1/16) очень близка к локальному минимуму. Начиная с шага 3, мы знаем, что у всегда положительная при х> -1/2, и мы нашли небольшое значение (1/16); таким образом, в этом случае значение ошибки крайне маленькое.)
8. 8 Соедините отложенные точки и плавно продлите график к асимптотам (не забудьте о правильном направлении приближения графика к асимптотам). Не забывайте, что график не должен пересекать ось Х (см. шаг 3). График также не пересекается с горизонтальной и вертикальной асимптотами (см. шаг 5). Не меняйте направление графика кроме как в точках экстремумов, найденных в предыдущем шаге.

Советы

• Если вы выполнили вышеописанные действия строго по порядку, то нет необходимости вычислять вторые производные (или аналогичные сложные величины) для проверки вашего решения.
• Если вам не нужно вычислять значения величин, вы можете заменить нахождение локальных экстремумов на вычисление некоторых дополнительных пар координат (х, у) между каждой парой асимптот. Более того, если вам все равно, как работает описанный метод, то не удивляйтесь, почему вы не можете найти производную и решить уравнение N'(x)D(x) - N(x)D'(x) = 0.
• В некоторых случаях вам придется работать с многочленами высших порядков. Если вы не можете найти точное решение при помощи разложения на множители, формул и т.п., то оцените возможные решения, используя численные методы, такие как метод Ньютона.
• В редких случаях числитель и знаменатель имеют общий переменный множитель. Согласно описанным шагам это приведет к нулю и к вертикальной асимптоте на том же месте. Однако это невозможно, а объяснением служит один из следующих вариантов:
  • Нуль в N(х) имеет более высокую кратность, чем нуль в D(х). График F(х) стремится к нулю в этой точке, но не определен в ней. Укажите это, нарисовав окружность вокруг точки.
  • Нуль в N(х) и нуль в D(х) имеют одинаковую кратность. График приближается к некоторой ненулевой точке при этом значении х, но не определен в ней. Укажите это, нарисовав окружность вокруг точки.
  • Нуль в N(х) имеет более низкую кратность, чем нуль в D(х). Здесь существует вертикальная асимптота.