Как построить фрактал множество Аполлона

2 части:Узнайте об основных концепцияхПостроение множества Аполлона

Множество Аполлона – это вид фрактала, который строится посредством постоянно уменьшающихся в диаметре окружностей в одной большой окружности. Каждая окружность в множестве Аполлона является «касательной» к смежным окружностям, другими словами круги в множестве Аполлона соприкасаются только в бесконечно малой точке. Он назван в честь греческого математика Аполлония Пергского. Этот тип фрактала умеренной степени сложности можно построить на компьютере или вручную, при этом создается красивое и яркое изображение. Смотрите Шаг 1 ниже, чтобы начать работу.

Шаги

Часть 1 из 2: Узнайте об основных концепциях

Если вы просто заинтересованы в построении множества Аполлона, то необязательно проводить математические исследования фрактала. Однако, если вы хотите глубже понять этот фрактал, важно узнать определения ряда понятий, которые будут использоваться в обсуждении данной темы.

1. 1 Определите ключевые термины. В инструкции ниже используются следующие термины:
   • Множество Аполлона: одно из нескольких названий вида фрактала, который состоит из группы окружностей, расположенных в большой окружности и касающихся всех смежных. Он также называется «Круги Содди» или «Целующиеся круги».
   • Радиус окружности: расстояние от центра окружности до точки, лежащей на окружности. Обычно обозначается переменной «r».
   • Кривизна окружности: положительная или отрицательная обратная радиусу величина, или ±1/r. Кривизна является положительной для внешней стороны окружности, и отрицательной – для внутренней.
   • Касательная: термин применяется к линиям, плоскостям и фигурам, которые пересекаются в одной бесконечно малой точке. В множестве Аполлона это ссылается на тот факт, что каждая окружность касается соседней только в одной точке. Обратите внимание, что пересечение отсутствует – касательные фигуры не перекрываются.
2. 2 Разберитесь в теореме Декарта. Теорема Декарта – это формула, которая используется при подсчете размеров окружностей в множестве Аполлона. Если мы определим кривизну (1/r) любых трех окружностей, как a, b, и c соответственно, а теорема гласит, что кривизна окружности (или окружностей), которая является касательной ко всем трем окружностям, обозначенную d,равняется: d = a + b + c ± 2 (√(a × b + b × c + c × a )).
   • Для наших целей мы будем использовать только ответ, который мы получили, поставив знак плюс перед квадратным корнем (другими словами, … +2(√(...)). В настоящее время, достаточно знать, что способ вычитания в уравнении используется в других связанных с ним задачах.

Часть 2 из 2: Построение множества Аполлона

Множество Аполлона принимает форму красивой фрактальной конструкции из сокращающихся в размере кругов. Математически множество Аполлона бесконечно сложное, но используете ли вы компьютерную программу, или традиционные инструменты для рисования, вы в конечном итоге достигнете того момента, когда будет невозможно нарисовать окружность меньшего размера. Заметьте, что чем более точно вы рисуете окружности, тем больше они будут соответствовать множеству Аполлона.

1. 1 Соберите цифровые и аналоговые инструменты для рисования. В шагах ниже мы построим наше простое множество Аполлона. Можно построить множество самим или с помощью компьютера. В любом случае вам нужно нарисовать идеально ровные окружности. Это довольно важно. Так как каждая окружность во фрактале должна идеально соприкасаться со смежными окружностями, любой даже слегка деформированный круг может испортить ваш конечный результат.
   • Если вы строите множество на компьютере, вам понадобится программа, которая позволяет с легкостью рисовать окружности фиксированного радиуса. Gfig – расширение векторной графики для бесплатной программы редактирования изображений GIMP. Оно может быть использовано в широком ряде других графических программ. Возможно вам потребуется калькулятор и текстовый редактор, или обычный блокнот для заметок о радиусах и кривизне.
   • Для рисования множества вручную, вам понадобится калькулятор (желательно научный или графический), карандаш, циркуль, линейка (желательно с миллиметровой разметкой), миллиметровая бумага и блокнот для заметок.
2. 2 Начните с одной большой окружности. Ваша первая задача – просто нарисовать одну большую, идеально ровную окружность. Чем больше круг, тем сложнее может быть ваш фрактал, поэтому старайтесь построить такую окружность, какую позволяет размер бумаги, или так, чтобы можно было ее полностью видеть на экране в графической программе.
3. 3 Нарисуйте окружность поменьше в первой окружности, которая будет касаться ее в одной точке. Итак, начертите окружность внутри нашей первой окружности, она будет меньше, чем основная, но все равно достаточно большая. Точный размер второй окружности зависит от вас, так как нет установленного размера. Однако, давайте начертим вторую окружность так, чтобы она занимала половину основного круга. Другими словами, ее центр – это середина радиуса большей окружности.
   • Запомните, что в множестве Аполлона все окружности являются касательными друг к другу. Если вы пользуетесь циркулем при построении окружностей, воссоздайте этот эффект, поставив острый конец циркуля посередине радиуса основной окружности, и отрегулировав карандаш циркуля таким образом, чтобы он просто касался края окружности, и затем нарисуйте меньшую внутреннюю окружность.
4. 4 Начертите идентичную окружность рядом с меньшей внутренней окружностью. Итак, давайте нарисуем другую окружность рядом с первой. Окружность должна быть касательной к обоим окружностям: внешней большей и внутренней меньшей, что означает, что обе внутренних окружности соприкоснуться точно в центре большой.
5. 5 Примените теорему Декарта, чтобы вычислить размеры следующих окружностей. На мгновение перестанем рисовать. Теперь, когда у нас есть три окружности во фрактале, мы можем использовать теорему Декарта, чтобы найти радиус следующей окружности, которую будем рисовать. Запомните уравнение теоремы Декарта d = a + b + c ± 2 (√(a × b + b × c + c × a )), где a, b, и c являются кривизной трех касательных окружностей и d – кривизна окружности касательной ко всем трем. Поэтому, чтобы найти радиус нашего следующего круга, давайте рассчитаем кривизну каждой имеющейся у нас окружности, пока не сможем найти кривизну следующей окружности и затем рассчитаем ее радиус.
   • Давайте определим радиус внешней окружности как 1. Так как другие окружности находятся внутри нее, мы имеем дело с «внутренней» кривизной (вместо внешней), и, следовательно, мы знаем, что она отрицательна. - 1/r = -1/1 = -1. Так кривизна большой окружности равна -1.
   • Радиус меньших окружностей составляет половину радиуса большой, то есть 1/2. Так как эти окружности соприкасаются друг с другом и основной окружностью внешними сторонами, мы имеем дело с внешней кривизной, положительной. 1/(1/2) = 2. Поэтому кривизна меньших окружностей равна 2.
   • Теперь мы знаем, что a = -1, b = 2, и c = 2 в нашем уравнении теоремы Декарта. Давайте вычислим d:
     • d = a + b + c ± 2 (√(a × b + b × c + c × a ))
     • d = -1 + 2 + 2 ± 2 (√(-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1 ))
     • d = -1 + 2 + 2 ± 2 (√(-2 + 4 + -2 ))
     • d = -1 + 2 + 2 ± 0
     • d = -1 + 2 + 2
     • d = 3. Кривизна следующей окружности 3. Так как 3 = 1/r, радиус этой окружности будет равняется 1/3.
6. 6 Начертите следующую пару окружностей. Чтобы нарисовать следующие две окружности, используйте значения радиуса, которые вы только что нашли. Не забывайте, что эти окружности являются касательными к тем, чья кривизна была использована при подсчете теоремы Декарта. Другими словами, они будут касаться и основной и вторичных окружностей. Чтобы эти круги касались трех других, вам нужно начертить их в свободной области сверху и снизу в основном круге.
   • Помните, что радиус этих окружностей равен 1/3. Отмерьте 1/3 от края внешней окружности и затем начертите новую. Она должна быть касательной ко всем трем близлежащим окружностям.
7. 7 Таким образом продолжайте добавлять окружности. Так как они являются фракталами, множество Аполлона бесконечно сложное. Это означает, что вы можете добавлять окружности все меньшего и меньшего размера к основе фрактала. Вы ограничены только точностью ваших инструментов (или, если вы используете компьютер, способностью графической программы к увеличению). Каждая окружность, какой бы маленькой она не была, должна быть касательной к трем другим. Чтобы нарисовать каждую последующую окружность, используйте значения кривизны трех касательных к ней окружностей для теоремы Декарта. Затем с помощью ответа точно начертите новую окружность.
   • Обратите внимание, что множество, которое мы выбрали для построения, симметрично, поэтому радиус одной окружности такой же, как радиус идентичной ей окружности. Однако, не все множества Аполлона симметричны.
   • Давайте разберем еще один пример. Допустим, после построения последней пары окружностей, мы захотим начертить окружности, касательные к нашей третьей паре и основной окружности. Кривизна этих окружностей равняется 3, 2 и -1 соответственно. Теперь включаем эти числа в теорему Декарта, установив, что a = -1, b = 2, и c = 3:
     • d = a + b + c ± 2 (√(a × b + b × c + c × a ))
     • d = -1 + 2 + 3 ± 2 (√(-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1 ))
     • d = -1 + 2 + 3 ± 2 (√(-2 + 6 + -3 ))
     • d = -1 + 2 + 3 ± 2 (√(1))
     • d = 2, 6. У нас два ответа! Однако, мы знаем, что наша новая окружность будет меньше, чем касательные к ней, значит иметь смысл будет только значение кривизны 6 (а радиус 1/6).
     • Другой ответ, 2, на самом деле относится к гипотетической окружности на «другой стороне» точки касательной ко второй и третьей окружности. Эта окружность является касательной к обеим этим окружностям и к основной, но она будет пересекать те окружности, которые мы уже нарисовали, поэтому можно проигнорировать этот ответ.
8. 8 В качестве испытания, постарайтесь построить несимметричное множество Аполлона, изменяя размер второй окружности. Все множества Аполлона начинают строить с одного и того же – с большой внешней окружности, которая и является границей фрактала. Однако, нет необходимости в том, чтобы радиус второй окружности равнялся 1/2 первой. Мы просто решили взять эти числа для простоты и легкости в понимании. Для удовольствия попробуйте построить новое множество со второй окружностью другого размера – это приведет к новым направлениям в исследовании.
   • После того как построите вторую окружность (вне зависимости от ее размера), вашим следующим действием должно быть построение одной (или более) окружности, которая является касательной и ко второй, и к основной внешней окружностям – нет единственно верного способа, как ее построить. После этого вы можете воспользоваться теоремой Декарта для определения радиуса последующих окружностей, как показано выше.