Как посчитать вероятность определенной комбинации при игре в кости

4 методика:ПеренумерацияРекурсияСоздание функцийНепрерывное приближение

Множество людей думают, что если бросить три игровых кости с шестью сторонами, существует одинаковая вероятность получения как тройки, так и десятки. Это неправда, в этой статье мы расскажем вам, как посчитать среднее линейное отклонение и крадратическое отколение при выбросе комбинаций игральными костями.

Давайте разберемся в терминологии механики игровых костей. У обычного игрового кубика 6 сторон, но существуют также другие вариации. Например, двухсторонние игровые кости «монеты», четырехсторонние «пирамиды», 8-сторонние «октаэдры», 10-сторонние «декаэдры», 12-сторонние «додекаэдры» и двадцятисторонние «икосаэдры». При выбросе костей соблюдается формат (количество костей) (сокращенный идентификатор игрового кубика). Запись 2D6 означает выброс двух костей с 6 сторонами. В этой статье в формулах будут использованы следующие обозначения: N – количество выбрасываемых костей, R - количество сторон в каждой игровой кости, от 1 до R, а также K - комбинаторное значение. Есть несколько методов вычисления вероятности выпадения каждой сумы.

Шаги

Метод 1 из 4: Перенумерация

1. 1 Запишите количество костей, их сторон и нужное число.
2. 2 Перечислите все комбинации, с помощью которых может получится данная сумма. Чем больше у вас игровых костей, тем больше комбинаций. Например, если N = 5, R = 6, K = 12. Смотрите запись на картинке снизу. Чтобы убедиться, что ни одна комбинация не была посчитана дважды, все значения приведены в словарном порядке, а кости не в уменьшающемся порядке.

1. 1 Не все комбинации, записанные в предыдущем шаге, имеют одинаковую вероятность выпадения. Возьмем пример трехсторонней игровой кости с тремя сторонами 1,2,3. Существует 6 возможностей — (123, 132, 213, 231, 312, 321), но при сторонах 1,1,4 есть только 3 возможности — 114, 141, 411. Используйте полиномиальную формулу для вычисления количества комбинаций всех цифр. Эта информация добавлена в таблицу на картинке внизу.
2. 2 Сложите все возможные комбинации получения нужной суммы.
3. 3 Разделите на общее количество результатов. Поскольку у каждой игровой кости есть R одинаково вероятных сторон, записываем Rn.

Метод 2 из 4: Рекурсия

Этим методом считают вероятность выпадения всех сум для все цифр на игровых костях. Его легче всего записывать в форме таблицы.

1. 1 Запишите вероятность выброса для одной игровой кости. В примере на картинке записан способ исчисления вероятности для 6-сторонней игровой кости. Пустые ряды в таблице с отрицательными числами принято считать нулями, используя ту же формулу для каждого ряда таблицы.
2. 2 В колонке таблицы для расчета вероятности для двух игровых костей используйте приведенную формулу. Вероятность выпадения суммы К для двух костей равняется сумме следующего (описано ниже). Для каждой большой или маленькой величины К некоторые из этих значений могут равняться 0, но формула действительна для всех значений К.
   • Первая кость показывает К-1, а вторая показывает 1.
   • Первая кость показывает К-2, а вторая показывает 2.
   • Первая кость показывает К-3, а вторая показывает 3.
   • Первая кость показывает К-4, а вторая показывает 4.
   • Первая кость показывает К-5, а вторая показывает 5.
   • Первая кость показывает К-6, а вторая показывает 6.
3. 3 Точно так же, для 3 или более игровых костей применяется та же формула, с использованием вероятностей выпадения каждой суммы на одной игровой кости. Формула, описанная во втором шаге, может быть применена как к рядам таблицы, так и к колонкам, пока в нее не будут включены все данные из таблицы.
4. 4 Приведенная ниже картинка показывает количество способов достижения нужной суммы, а не вероятность. Но, вероятность = количество способов достижения нужной суммы / Rn, где R—количество сторон каждой игровой кости, а N— количество игровых костей.

Метод 3 из 4: Создание функций

1. 1 Запишите многочлен ( 1/ R)(X+X2+Xr). Это производящая функция для одной игровой кости. Коэффициент Хк—это вероятность того, что вы выбросите сумму К.
2. 2 Возведите многочлен в степень n, чтобы получить производящею функцию для суммы, которая выпала на игровых костях. Получилось ( 1/ R)(X+X2+Xr)n. Если N больше 2, вам понадобится калькулятор.
3. 3 Подсчет этой вероятности делается так же, как и в предыдущем методе, но иногда теоретические результаты получить легче с помощью производящей функции. Например, если вы бросаете 2 обычных игровых кости, у них будет точно такое же распределение возможных сумм, как и у необычной игровой кости (1,2,2,3,3,4) и другой (1,3,4,5,6,8). Это происходит потому, что (x+x2 +x2+x3+x3+x4)(x+x3 +x4+x5+x6+x8) = (x+x2 +x3+x4+x5+x6)(x+x2 +x3+x4+x5+x6).

Метод 4 из 4: Непрерывное приближение

1. 1 Для большого количества игровых костей подсчитать вероятность с помощью вышеописанных методов будет сложно. Теорема о центральном пределе утверждает, что сумма чисел на идентичных игровых костях приближается к нормальному распределению с увеличением количества игровых костей.
2. 2 Подсчитайте среднее отклонение и стандартное отклонение, основываясь на количестве и типе игровых костей. Предположим, что игровые кости пронумерованы от 1 до R, смотрите формулу ниже.
   • Среднее значение (R+1)/2.
   • Дисперсия распределения вероятности n(r^2-1)/12.
   • Стандартное квадратичное отклонение—это квадратный корень дисперсии.
3. 3 Используйте нормальное распределение со средним значением и стандартным квадратичным отклонением как аппроксимацию суммы, выброшенной на игровых костях.

Предупреждения

• Если у вас несколько игровых костей с разным количеством сторон, вычисление вероятности сильно усложнится. Самый простой способ вычисления вероятности — перечисление всех возможных результатов и упорядочивание их в возрастающем порядке по общей сумме.