Как понять свойства неравенств
Неравенство – это две величины или выражения, которые не равны друг другу, то есть одно из них больше или меньше другого. Обозначение а ≠ b означает, что а не равно b, но оно не указывает, что а больше или меньше b. Эта статья расскажет вам о свойствах неравенств.
Шаги
-
1
Есть четыре основных типа неравенств:
- а < b – а меньше b.
- Например: 4 < 6; -4 < 0 и так далее.
- а > b – а больше b.
- Например: -1 > - 5; 5 > 3 и так далее.
- а ≤ b – а меньше или равно b.
- Например: Если вы знаете, что х ≤ 9, то вы можете сказать, что х меньше или равно 9.
- а ≥ b – а больше или равно b.
- Например: Если вы знаете, что х ≥ 9, то вы можете сказать, что х больше или равно 9.
-
2
Свойство сложения. Предположим а, b, с - действительные числа.
- Если а > b, то а + с > b + с
- Если к левой стороне неравенства прибавить некоторое число, то это же число нужно прибавить и к правой стороне неравенства, чтобы сохранить его условие.
- Например, если вы прибавите 5 к левой стороне неравенства х-5≥10, то прибавьте 5 и к правой стороне, чтобы получить: х-5 + 5 ≥ 10 + 5 или х ≥ 15.
- Если а < b, то а + с < b + с
-
3
Примените свойство сложения к задаче из повседневной жизни. Помните, что если к левой стороне неравенства прибавить некоторое число, то это же число нужно прибавить и к правой стороне неравенства, чтобы сохранить его условие.
- Задача: мой друг моложе своего работодателя. Восемь лет спустя друг все еще моложе своего работодателя.
- Запишите задачу в виде неравенства.
- Возраст друга < возраста работодателя
- Возраст друга + 8 лет < возраст работодателя + 8 лет
- Пусть х – это возраст друга, а у – возраст работодателя. Тогда х+8 < у+8.
- Таким образом, если к левой стороне неравенства прибавить некоторое число, то это же число нужно прибавить и к правой стороне неравенства.
-
4
Свойство вычитания. Предположим а, b, с - действительные числа.
- Если а > Ь, то а - с > b – с. Это свойство аналогично свойству сложения.
- Если из левой стороны неравенства вычесть некоторое число, то это же число нужно вычесть и из правой стороны неравенства, чтобы сохранить его условие.
- Например, если вы вычитаете 10 из левой стороны неравенства, то вычтите 10 и из правой стороны.
- х + 10 ≥ 6
- х + 10 - 10 ≥ 6 - 10
- х ≥ -4
-
5
Свойство умножения. Предположим а, b, с - действительные числа.
- Если а больше, чем b, а с больше нуля, вы запишете: а > b и с > 0.
- Если имеет место неравенство а * с > b * с, то любые действия, выполняемые с левой стороны неравенства, необходимо выполнить и с правой стороны.
- Поэтому если c > 0 и a > b, то a * c > b * c.
- Если a < b, то a * c < a * c.
- Если умножить на с левую сторону неравенства, то нужно умножить на с и правую сторону неравенства.
- Однако, если с меньше нуля, то его значение отрицательное.
- Если с меньше нуля, то знак неравенства необходимо изменить на противоположный, чтобы сохранить условие неравенства.
- Если с < 0 и а > b, то а * с < b * с
- Если с < 0 и а < b, то а * с > b * с
-
6
Свойство деления.
- Для всех действительных а, b, с, если a > b и c > 0, то
- Если a < b, то a/c < b/c.
- Любые действия, выполняемые с левой стороны неравенства, необходимо выполнить и с правой стороны.
- Тем не менее, если с < 0 (то есть с отрицательное), то знак неравенства необходимо изменить на противоположный, чтобы сохранить условие неравенства.
- Если с < 0 и а > b, то а/с < b/с
- Если с < 0 и а < b, то а/с > b/с
- Знак неравенства меняется на противоположный, потому что с < 0, то есть отрицательное.
-
7
Примените свойства умножения и деления к задаче.
- Пример: 2(х + 3) ≥ 3x + 2
- Во-первых, упростите выражение с левой стороны: 2x + 6 ≥ 3x + 2
- Любые действия, выполняемые с левой стороны неравенства, необходимо выполнить и с правой стороны.
- 2x + 6 - 6 ≥ 3x +2 -6
- 2x ≥ 3x - 4
- Для избавления от 3x с правой стороны, вычтите 3х из обеих сторон неравенства:
- 2x - 3x ≥ 3x - 3x -4
- -x ≥ -4
- Для избавления от знака минус с левой стороны умножьте обе стороны неравенства на -1, то есть -x * (-1) ≥ -4 * (-1)
- Поэтому х ≥ 4
|
