Как понять единичную окружность

Единичная окружность является превосходным инструментом при тригонометрических операциях; если вы действительно поймете действия с единичной окружностью, тригонометрия дастся вам намного легче.

Шаги

1. 1 Что такое единичная окружность. Единичная окружность -- это окружность с радиусом, равным 1, и с центром в начале координат. Вспомните, что уравнение окружности выглядит как x2+y2=1. Такая окружность может быть использована для нахождения некоторых "особых" тригонометрических соотношений, а также при построении графических изображений. С помощью нее и заключенной в ней линии можно оценивать и численные значения тригонометрических функций.
2. 2 Запомните 6 тригонометрических соотношений. Помните, что
   • sinθ=противолежащий катет/гипотенуза
   • cosθ=прилежащий катет/гипотенуза
   • tgθ=противолежащий катет/прилежащий катет
   • cosecθ=1/sin
   • secθ=1/cos
   • ctgθ=1/tg.
3. 3 Что такое радиан. Радиан -- одна из мер для определения величины угла. Один радиан -- это величина угла между двумя радиусами, проведенными так, что длина дуги между ними равна величине радиуса. Заметьте, что при этом величина и расположение окружности не играют никакой роли. Следует также знать, чему равно число радиан для полной окружности (360 градусов). Вспомните, что длина окружности равна 2πr, что превышает длину радиуса в 2π раза. Поскольку по определению 1 радиан -- это угол между концами дуги, длина которой равна радиусу, в полной окружности заключен угол, равный 2π радиан.
4. 4 Умейте перевести радианы в градусы. В полной окружности содержится 2π радиан, или 360 градусов. Таким образом:
   • 2π радиан=360 градусов
   • 1 радиан=(360/2π) градусов
   • 1 радиан=(180/π) градусов
   • и
   • 360 градусов=2π радиан
   • 1 градус=(2π/360) радиан
   • 1 градус=(π/180) радиан
5. 5 Выучите "особые" углы. Эти углы в радианах составляют π/6, π/3, π/4, π/2, π и произведения данных величин (например, 5π/6)
6. 6 Изучите и запомните значения тригонометрических функций для особых углов. Для определения их величин вы должны взглянуть на единичную окружность. Вспомните об отрезке известной длины, заключенном в единичной окружности. Точка на окружности соответствует количеству радиан в образованном угле. Например, углу π/2 соответствует точка на окружности, радиус к которой образует с положительным горизонтальным радиусом угол величиной π/2. Для нахождения значения тригонометрической функции какого-либо угла определяются координаты точки, соответствующей этому углу. Гипотенуза всегда равна единице, поскольку она является радиусом круга, и так как любое число, поделенное на 1, равно самому себе, а противоположный катет равен длине вдоль оси Оy, отсюда следует, что значение синуса какого-либо угла -- это координата y соответствующей точки на окружности. Значение косинуса можно найти схожим образом. Косинус равен длине прилежащего катета, деленной на длину гипотенузы; поскольку последняя равна единице, а длина прилежащего катета равна координате x точки на окружности, отсюда следует, что косинус равен значению этой координаты. Найти тангенс немного сложнее. Тангенс угла прямоугольного треугольника равен противолежащему катету, деленному на прилежащий. В данном случае, в отличие от предыдущих, частное не является константой, поэтому вычисления несколько усложняются. Вспомним, что длина противолежащего катета равна координате y, а прилежащего -- координате x точки на единичной окружности; подставив эти значения, получим, что тангенс равен y/x. Поделив 1 на найденные выше значения, можно легко найти соответствующие обратные тригонометрические функции. Таким образом, можно рассчитать все основные тригонометрические функции:
   • sinθ=y
   • cosθ=x
   • tgθ=y/x
   • cosec=1/y
   • sec=1/x
   • ctg=x/y
7. 7 Найдите и запомните значения шести тригонометрических функций для углов, лежащих на координатных осях, то есть углов, кратных π/2, таких как 0, π/2, π, 3π/2, 2π и т.д. Для точек круга, находящихся на координатных осях, это не представляет никаких проблем. Если точка лежит на оси Оx, синус равен нулю, а косинус -- 1 или -1, в зависимости от направления. Если же точка лежит на оси Оy, синус будет равняться 1 или -1, а косинус -- 0.
8. 8 Найдите и запомните значения 6 тригонометрических функций для особого угла π/6. Нанесите угол π/6 на единичную окружность. Вы знаете, как находить длины всех сторон особых прямоугольных треугольников (с углами 30-60-90 и 45-45-90) по известной длине одной из сторон, а поскольку π/6=30 градусов, данный треугольник является одним из особых случаев. Для него, как вы помните, короткий катет равен 1/2 гипотенузы, то есть координата y составляет 1/2, а длинный катет длиннее короткого в √3 раз, то есть равен (√3)/2, так что координата x будет (√3)/2. Таким образом, получаем точку на единичной окружности со следующими координатами: ((√3)/2,1/2). Пользуясь приведенными выше равенствами, находим:
   • sinπ/6=1/2
   • cosπ/6=(√3)/2
   • tgπ/6=1/(√3)
   • cosecπ/6=2
   • secπ/6=2/(√3)
   • ctgπ/6=√3
9. 9 Найдите и запомните значения 6 тригонометрических функций для особого угла π/3. Угол π/3 отображается на окружности точкой, у которой координата x равна координате y угла π/6, а координата y такая же, как x для этого угла. Таким образом, точка имеет координаты (1/2, √3/2). В итоге получаем:
   • sinπ/3=(√3)/2
   • cosπ/3=1/2
   • tgπ/3=√3
   • cosecπ/3=2/(√3)
   • secπ/3=2
   • ctgπ/3=1/(√3)
10. 10 Найдите и запомните значения 6 тригонометрических функций для особого угла π/4. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника с углами 45-45-90 относится к длинам его катетов как √2 к 1, так же будут соотноситься и значения координат точки на единичной окружности. В итоге имеем:
    • sinπ/4=1/(√2)
    • cosπ/4=1/(√2)
    • tgπ/4=1
    • cosecπ/4=√2
    • secπ/4=√2
    • ctgπ/4=1
11. 11 Используйте правильное значение угла. Вы уже нашли значения основных тригонометрических функций для трех особых углов, но сделали это лишь для первого квадранта. Если вам необходимо вычислить значения функций для большего или меньшего угла, сначала определите, к какому "семейству" принадлежит данный угол. Например, угол π/3 входит в то же семейство, что и углы 2π/3, 4π/3 и 5π/3. Общее правило при этом состоит в том, чтобы как можно более сократить числитель и знаменатель, а затем посмотреть на значение знаменателя.
    • Если оно равно 3, угол относится к семейству π/3
    • Если 6, то к семеству π/6
    • Если 2 -- к семейству π/2
    • Если знаменатель сократился полностью, например осталось π или 0, угол принадлежит к семейству π
    • Если 4, то это семейство π/4
12. 12 Определите, положительно или отрицательно значение функции. Все углы, принадлежащие одному семейству, дают одинаковые абсолютные значения тригонометрических функций, но эти значения могут различаться по знаку (одно быть положительным, второе -- отрицательным).
    • Если угол находится в первом квадранте, все тригонометрические функции имеют положительные значения.
    • Для угла во втором квадранте все функции, за исключением sin и cosec, отрицательны.
    • В третьем квадранте значения всех функций, кроме tg и ctg, меньше нуля.
    • В четвертом квадранте все функции, за исключением cos и sec, имеют отрицательные значения.