Как определить, сходится ли бесконечный ряд

Бесконечные числовые ряды нередко приводят в замешательство и отпугивают, поскольку их довольно трудно представить себе мысленно. С первого взгляда сложно сказать, сходится ряд или нет; несколько столетий назад ответ на такой вопрос занял бы много часов. Однако в наше время, благодаря усилиям многих выдающихся математиков, мы обладаем набором несложных приемов, легко позволяющими решить задачу. Эти приемы предназначены для получения ответа на вопрос, сходится ряд или нет, а не для нахождения его суммы. Для их понимания вы должны также владеть основами вычислений.

Шаги

1. 1 Произведите предварительную проверку. Есть простая теорема, которая гласит, что если бесконечная сумма функции f сходится, то предел функции f равен 0. Таким образом, если мы имеем функцию x^2, то у нее нет предела, и ее сумма до бесконечности расходится; с другой стороны, предел функции 1/x равен 0, так что ее сумма может сходиться. Если предел не равен нулю, мы знаем, что ряд расходится. ВНИМАНИЕ: обратное не верно, то есть то, что предел равен нулю, совсем не означает, что ряд обязательно сходится. В этом случае необходима дальнейшая проверка.
2. 2 Геометрические ряды. Для этих рядов существует очень простое правило, так что прежде всего определите, не является ли ваш ряд геометрическим. Геометрический ряд -- это последовательность чисел, каждый член которой можно представить в виде r^k, где k -- переменная, а r -- число, лежащее в интервале между -1 и 1. Геометрические ряды всегда сходятся. Более того, вы легко можете определить сумму такого ряда, которая равна 1/(1-r).
3. 3 Обобщенные гармонические ряды, или ряды Дирихле. Таким рядом называется сумма функций вида 1/(x^p), где x -- любое число. Теорема для этих рядов гласит, что если p больше единицы, ряд сходится, если же p меньше или равно единице, ряд расходится. Это означает, что упомянутый выше ряд 1/x расходится, так как его можно представить в виде 1/(x^1), где p=1. Этот ряд называется гармоническим. Ряд 1/(X^2) сходится, поскольку 2 больше 1.
4. 4 Другие ряды. Если ряд не принадлежит одному из типов, указанных выше, примените к нему методы, приведенные ниже. Если не помог один метод, примените следующий, поскольку не всегда ясно, какой из них следует выбрать. Хотя и не существует однозначных правил, со временем вы сможете лучше ориентироваться в выборе нужного метода.
   • Метод сравнения. Допустим, у вас есть два ряда, состоящие из положительных членов, a(n) и b(n). Тогда: 1) если бесконечная сумма b(n) сходится, и a(n) меньше чем b(n) (для любого достаточно большого n), тогда сумма a(n) также сходится; 2) если b(n) расходится, и a(n)>b(n), тогда a(n) тоже расходится. Например, у вас есть ряд 2/x; мы можем сравнить его с рядом 1/x. Поскольку мы уже знаем, что ряд 1/x расходится, и 2/x > 1/x, отсюда следует, что ряд 2/x также расходится. Таким образом, идея метода состоит в том, чтобы определить, сходится или нет исследуемый ряд, используя уже известный ряд.
   • Метод сравнения пределов. Если a(n) и b(n) являются рядами положительных чисел, и если существует предел a(n)/b(n), который больше 0, тогда оба ряда либо сходятся, либо расходятся. В этом случае исследуемый ряд также сравнивается с известным; метод состоит в том, чтобы подобрать известный ряд, максимальная степень которого соответствует степени исследуемого ряда. Например, если вы рассматриваете ряд 1/(x^3+2x+1), имеет смысл сравнить его с рядом 1/(x^3).
   • Проверка интегралом. Если функция больше нуля, непрерывна и уменьшается при значениях x больше или равных 1, тогда бесконечный ряд f(n) сходится, если определенный интеграл от 1 до бесконечности от функции f(x) существует и имеет конечное значение; в противном случае ряд расходится. Таким образом, достаточно проинтегрировать функцию и найти предел при x, стремящемся к бесконечности: если предел конечен, ряд сходится, если же предел равен бесконечности, ряд расходится.
   • Знакопеременные ряды. Если a(k)>a(k+1)>0 при достаточно больших k, и предел a(n) равен 0, тогда знакопеременный ряд (-1)^n a(n) сходится. Проще говоря, допустим, что ваш ряд является знакопеременным (то есть его члены попеременно положительны и отрицательны); в этом случае отбросьте знакопеременную часть функции и найдите предел того, что осталось -- если предел конечен, ряд сходится.
   • Метод отношения. Если дан бесконечный ряд a(n), найдите следующий член ряда a(n+1). Затем вычислите отношение последующего члена к предыдущему a(n+1)/a(n), в случае необходимости взяв его абсолютное значение. Найдите предел этого отношения при n стремящемся к бесконечности; если этот предел существует и конечен, это означает следующее: 1) если предел меньше единицы, ряд сходится; 2) если предел больше единицы, ряд расходится; 3) если предел равен единице, данный способ недостаточен (ряд может как сходиться, так и расходиться).
   • Это основные методы определения сходимости рядов, и они чрезвычайно полезны. Если ни один из них не помог, вполне вероятно, что задача не имеет решения, или же вы где-то допустили ошибку. Эти способы могут быть использованы и для других рядов, таких как степенные ряды, ряды Тейлора и т.д. Владение данными методами сложно переоценить, поскольку других простых способов определить сходимость ряда не существует.

Советы

• Всегда находите предел и проверяйте, не относится ли ваш ряд к геометрическим или обобщенным гармоническим рядам, прежде чем использовать метод сравнения. Это позволит вам сберечь много времени и сил.

Предупреждения

• Не пытайтесь решить любую задачу при помощи калькулятора.