Как найти угол между векторами

2 части:Нахождение угла между двумя векторамиФормула для вычисления угла

Математики и физики часто вычисляют угол между двумя данными векторами. Для вычисления такого угла применяют формулу, которая основана на скалярном произведении векторов. Формула может применяться для векторов как в двумерном, так и в многомерном пространствах.

Шаги

Часть 1 из 2: Нахождение угла между двумя векторами

1. 1 Запишите информацию о двух векторах. В этой статье мы будем рассматривать векторы в двумерном пространстве.[1] Если длины векторов вам даны, пропустите некоторые из следующих шагов.
   • Пример. Даны векторы u⃗ = (2,2) и v⃗ = (0,3). Эти векторы также можно записать в виде u⃗ = 2i + 2j и v⃗ = 0i + 3j = 3j.
   • Наш пример рассматривает двумерные векторы, но описанные ниже инструкции можно применять и к многомерным векторам.
2. 2 Запишите формулу. Чтобы найти угол θ между двумя векторами, начните с нахождения косинуса этого угла. (Об этой формуле мы расскажем в следующем разделе.)[2]
   • cosθ = (u⃗ • v⃗) / (||u⃗|| ||v ⃗ ||)
   • ||u⃗|| – это длина вектора u⃗.
   • u⃗ • v⃗ – это скалярное произведение двух векторов.
3. 3 Вычислите скалярное произведение двух векторов.[3] Для этого перемножьте соответствующие компоненты двух векторов и сложите полученные значения.[4]
   • u⃗ • v⃗ = u1v1 + u2v2, где u = (u1, u2). Если ваши вектора имеют более двух компонент, просто продолжайте прибавлять произведения их компонентов: + u3v3 + u4v4...
   • В нашем примере: u⃗ • v⃗ = u1v1 + u2v2 = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6.
4. 4 Вычислите длину каждого вектора. Нарисуйте прямоугольный треугольник, сторонами которого будет сам вектор (гипотенуза), его х-компонента и его у-компонента (катеты). Теперь найдите длину вектора при помощи теоремы Пифагора (ее можно применять к многокомпонентным векторам).[5]
   • ||u||2 = u12 + u22. Если ваши вектора имеют более двух компонент, просто продолжайте прибавлять: +u32 + u42 + ...
   • Таким образом, для двумерного вектора: ||u|| = √(u12 + u22).
   • В нашем примере: ||u⃗|| = √(22 + 22) = √(8) = 2√2. ||v⃗|| = √(02 + 32) = √(9) = 3.
5. 5 Подставьте найденные значения (длину векторов и их скалярное произведение) в формулу cosθ = (u⃗ • v⃗) / (||u⃗|| ||v ⃗ ||).
   • В нашем примере: cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.
6. 6 Найдите угол по его косинусу. Вы можете использовать кнопку arccos или cos-1 на калькуляторе, чтобы найти угол θ по известному значению cosθ. В некоторых случаях вы можете найти угол, пользуясь единичной окружностью.
   • В нашем примере, cosθ = √2/2. На единичной окружности это значение соответствует углу θ = π/4 или 45º.

Часть 2 из 2: Формула для вычисления угла

1. 1 Эта формула была выведена для определения скалярного произведения двух векторов и угла между ними.[6] Но эту формулу не взяли «с потолка». Она была выведена, основываясь на геометрических принципах.
   • Приведенные ниже примеры рассматривают двумерные вектора (потому что с ними проще работать). Векторы с тремя или более компонентами имеют свойства, определяемые аналогичной формулой.
2. 2 Теорема косинусов. Рассмотрите произвольный треугольник с углом θ между сторонами а и b и противоположной ему стороной с. Теорема косинусов гласит: c2 = a2 + b2 -2abcos(θ).[7]
3. 3 Соедините два вектора так, чтобы получить треугольник. Нарисуйте два двумерных вектора a⃗ и b⃗ с углом θ между ними. Проведите третий вектор так, чтобы получился треугольник. Другими словами, нарисуйте вектор c⃗ так, чтобы a⃗ + c⃗ = b⃗. Таким образом, c⃗ = a⃗ - b⃗.[8]
4. 4 Запишите теорему косинусов для полученного треугольника:
   • ||(a - b)||2 = ||a||2 + ||b||2 - 2||a|| ||b||cos(θ)
5. 5 Перепишите полученное уравнение через скалярное произведение двух векторов. Скалярное произведение – это умножение длины вектора «x» на проекцию вектора «y» на вектор «x». Но скалярное произведение вектора на самого себя не требует каких-либо проекций.[9] Это означает, что a⃗ • a⃗ = ||a||2/. Используйте этот факт, чтобы переписать уравнение в виде:
   • (a⃗ - b⃗) • (a⃗ - b⃗) = a⃗ • a⃗ + b⃗ • b⃗ - 2||a|| ||b||cos(θ)
6. 6 Раскройте скобки в левой части уравнения и упростите его.
   • a⃗ • a⃗ - a⃗ • b⃗ - b⃗ • a⃗ + b⃗ • b⃗ = a⃗ • a⃗ + b⃗ • b⃗ - 2||a|| ||b||cos(θ)
   • - a⃗ • b⃗ - b⃗ • a⃗ = -2||a|| ||b||cos(θ)
   • -2(a⃗ • b⃗) = -2||a|| ||b||cos(θ)
   • a⃗ • b⃗ = ||a|| ||b||cos(θ)

Советы

• Для ускорения решения используйте следующую формулу для любой пары двумерных векторов: cosθ = (u1 • v1 + u2 • v2) / (√(u12 • u22) • √(v12 • v22)).
• На основе описанной формулы вы можете быстро определить, является ли угол острым или тупым. Начните с cosθ = (u⃗ • v⃗) / (||u⃗|| ||v ⃗ ||):
  • Левая сторона и правая стороны уравнения должны иметь одинаковый знак (положительный или отрицательный).
  • Так как длины всегда положительны, cosθ должен иметь тот же знак, что и скалярное произведение.
  • Таким образом, если скалярное произведение положительно, cosθ положителен. В этом случае угол лежит в первом квадранте единичного круга (θ <π/2 или 90º). Угол острый.
  • Если скалярное произведение отрицательно, cosθ тоже отрицателен. Угол лежит во втором квадранте единичного круга (π/2<θ ≤ π или 90º<θ ≤180º). Угол тупой.