Как найти площадь шестигранника

4 методика:Нахождение площади шестиугольника при известной длине стороныНахождение площади правильного шестиугольника, если известна апофемаНахождение площади многогранника при известных координатах вершинДругие способы нахождения площади неправильного шестиугольника

Шестиугольник - это многоугольник, имеющий шесть сторон и шесть углов. В правильном шестиугольнике все стороны равны, а углы образуют шесть равносторонних треугольников. Есть несколько способов нахождения площади шестиугольника, в зависимости от того, имеем ли мы дело с правильным или неправильным шестиугольником. Из этой статьи вы узнаете, как именно находить площадь этой фигуры.

Шаги

Метод 1 из 4: Нахождение площади шестиугольника при известной длине стороны

1. 1 Запишем формулу. Так как правильный шестиугольник состоит из 6 равносторонних треугольников, то формула образована из формулы нахождения площади равностороннего треугольника: Площадь = (3√3 s2)/ 2 где s - длина стороны правильного шестиугольника.[1]
2. 2 Определим длину одной стороны. Если нам известна длина стороны, то просто запишем ее. В нашем случае длина стороны - 9 см. Если длина стороны неизвестна, но известен периметр или апофема (высота одного из шести равносторонних треугольников, перпендикулярная стороне), то можно найти и длину стороны. Вот, как это делается:
   • Если известен периметр, то просто делим его на 6 и получаем длину стороны. Если, например, периметр - 54 см, то разделив 54 на 6 мы получим 9 см, длину стороны.
     
     
   • Если известна только апофема, то длину стороны можно вычислить подставив апофему в формулу a = x√3 и затем умножив ответ на 2. Это делается потому, что апофема представляет собой сторону x√3 образуемого ей треугольника с углами 30-60-90 градусов. Если, например, апофема - 10√3, то х - 10 и длина стороны будет равна 10 * 2 или 20.
3. 3 Подставьте значение длины стороны в формулу. Просто подставляем 9 в изначальную формулу. Получаем: площадь = (3√3 x 92)/2
4. 4 Упрощаем ответ. Решаем уравнение и записываем ответ. Ответ должен быть указан в квадратных единицах, ведь мы имеем дело с площадью. Вот, как это делается:
   • (3√3 x 92)/2 =
   • (3√3 x 81)/2 =
   • (243√3)/2 =
   • 420.8/2 =
   • 210.4 см2

Метод 2 из 4: Нахождение площади правильного шестиугольника, если известна апофема

1. 1 Запишем формулу. Площадь = 1/2 x периметр x апофему.[2]
2. 2 Запишем апофему. Скажем, она равна 5√3 см.
3. 3 Используем апофему для нахождения периметра. Апофема перпендикулярна стороне шестиугольника и создает треугольник с углами 30-60-90. Стороны такого треугольника соответствуют пропорции x-x√3-2x, где сторона короткой стороны, лежащей напротив угла в 30 градусов, представлена х, длина длинной стороны, лежащей напротив угла в 60 градусов, представлена x√3, а гипотенуза представлена 2x.[3]
   • Апофема - сторона представленная x√3. Таким образом, подставляем апофему в формулу a = x√3 и решаем. Если, например, длина апофемы - 5√3, то подставляем это число в формулу и получаем 5√3 см = x√3, или x = 5 см.
   • Решая через х, мы нашли длину короткой стороны треугольника - 5 см. Эта длина представляет собой половину длины стороны шестиугольника. Умножив 5 на 2 мы получаем 10 см, длину стороны.
   • Подсчитав, что длина стороны - 10, умножаем это число на 6 и получаем периметр шестиугольника. 10 см х 6 = 60 см.
4. 4 Подставляем все известные данные в формулу. Сложнее всего - найти периметр. Теперь надо лишь подставить апофему и периметр в формулу и решить:
   • Площадь = 1/2 x периметр x апофему
   • Площадь = 1/2 x 60 см x 5√3 см
5. 5 Упрощаем ответ до тех пор, пока не избавимся от квадратных корней. Окончательный ответ указываем в квадратных единицах.
   • 1/2 x 60 см x 5√3 см =
   • 30 x 5√3 см =
   • 150√3 см =
   • 259. 8 см2

Метод 3 из 4: Нахождение площади многогранника при известных координатах вершин

1. 1 Запишите координаты всех вершин по осям x и y. Если известны вершины шестиугольника, то первым делом надо начертить таблицу с двумя колонками и семью рядами. Каждый ряд будет назван по названию по одной из шести точек (Точка А, Точка В, Точка С и т.д.), каждая колонка будет названа по осям х или у, соответствующим координатам точек по этим осям. Запишите координаты точки А по осям х и у справа от точки, координаты точки В - справа от точки В и т.д. Внизу повторно укажите координаты первой точки. Для примера скажем, что мы имеем дело со следующими точками, в формате (х, у):[4]
   • A: (4, 10)
   • B: (9, 7)
   • C: (11, 2)
   • D: (2, 2)
   • E: (1, 5)
   • F: (4, 7)
   • A (снова): (4, 10)
2. 2 Умножаем координаты каждой точки по оси х на координаты по оси у следующей точки. Это можно представить себе так: мы проводим диагональ вниз и вправо от каждой координаты по оси х. Запишем результаты справа от таблицы. Затем складываем их.
   • 4 x 7 = 28
   • 9 x 2 = 18
   • 11 x 2 = 22
   • 2 x 5 = 10
   • 1 x 7 = 7
   • 4 x 10 = 40
   • 28 + 18 + 22 + 10 + 7 + 40 = 125
3. 3 Умножаем координаты каждой точки по оси у на координаты по оси х следующей точки. Это можно представить себе так: мы проводим диагональ вниз и влево от каждой координаты по оси у. Перемножив все координаты складываем результаты.
   • 10 x 9 = 90
   • 7 x 11 = 77
   • 2 x 2 = 4
   • 2 x 1 = 2
   • 5 x 4 = 20
   • 7 x 4 = 28
   • 90 + 77 + 4 + 2 + 20 + 28 = 221
4. 4 Вычитаем из первой суммы координат вторую сумму координат. Вычитаем 221 из 125 и получаем -96. И так ответ: 96, площадь может быть только положительной.
5. 5 Делим разность на два. Делим 96 на 2 и получаем площадь неправильного шестиугольника. Окончательный ответ: 48 квадратных единиц.

Метод 4 из 4: Другие способы нахождения площади неправильного шестиугольника

1. 1 Найдем площадь правильного шестиугольника с отсутствующим треугольником. Если мы столкнулись с правильным шестиугольником, в котором отсутствует один или более треугольников, то прежде всего найдем его площадь, как если бы он был целым. Потом найдем площадь "отсутствующего" треугольника, вычтем ее из общей площади и получим площадь имеющейся фигуры.
   • Например, если мы выяснили, что площадь правильного треугольника - 60 см2, а площадь отсутствующего треугольника - 10 см2, то: 60 см2 - 10 см2 = 50 см2.
   • Если известно, что в шестиугольнике не хватает точно одного треугольника, то его площадь можно найти, умножив общую площадь на 5/6, так как мы имеем 5 и 6 треугольников. Если не хватает двух треугольников, то умножаем на 4/6 (2/3) и т.д.
2. 2 Разбейте неправильный шестиугольник на треугольники. Найдите площади треугольников и сложите их. В зависимости от имеющихся данных существует множество способов нахождения площади треугольника.
3. 3 Найдите в неправильном шестиугольнике какие-то другие фигуры: треугольники, прямоугольники, квадраты. Найдите площади составляющих шестиугольник фигур и сложите их.
   
   
   • Один из видов неправильного шестиугольника состоит из двух параллелограммов. Для нахождения их площадей просто перемножьте основания на высоты и затем сложите их площади.