Как найти площадь многоугольника

3 методика:Вычисление площади правильного многоугольника по апофемеВычисление площади правильного многоугольника по другим формуламВычисление площади неправильного многоугольника

Очень легко вычислить площадь правильного треугольника (это многоугольник!) и очень непросто сделать это в случае неправильного одиннадцатиугольника (это тоже многоугольник!). Эта статья расскажет вам, как вычислять площадь различных многоугольников.

Шаги

Метод 1 из 3: Вычисление площади правильного многоугольника по апофеме

1. 1 Формула для нахождения площади правильного многоугольника: Площадь = 1/2 х периметр х апофема.
   • Периметр - сумма сторон многоугольника.
   • Апофема – отрезок, соединяющий центр многоугольника и середину любой из его сторон (апофема перпендикулярна стороне).
2. 2 Найдите апофему. Она, как правило, дана в условии задачи. Например, дан шестиугольник, апофема которого равна 10√3.
3. 3 Найдите периметр. Если периметр не дан в условии задачи, то его можно найти по известной апофеме.
   • Шестиугольник можно разбить на 6 равносторонних треугольников. Апофема делит одну сторону пополам, создавая прямоугольный треугольник с углами 30-60-90 градусов.
   • В прямоугольном треугольнике сторона, противолежащая углу в 60 градусов, равна x√3; углу в 30 градусов равна «х»; углу 90 градусов равна 2x. Если значение стороны x√3 равно 10√3, то х = 10.
   • «х» - это половина длины основания треугольника. Удвойте ее и найдете полную длину основания. В нашем примере основание треугольника равно 20 единиц. В свою очередь основание треугольника есть сторона шестиугольника. Таким образом, периметр шестиугольника равен 20 х 6 = 120.
4. 4 Подставьте значения апофемы и периметра в формулу. В нашем примере:
   • площадь = 1/2 х 120 х 10√3
   • площадь = 60 х 10√3
   • площадь = 600√3
5. 5 Упростите ответ. Возможно, вам придется записать ответ в виде десятичной дроби (то есть избавиться от корня). С помощью калькулятора найдите √3 и умножьте на 600: √3 х 600 = 1039,2. Это ваш окончательный ответ.

Метод 2 из 3: Вычисление площади правильного многоугольника по другим формулам

1. 1 Площадь треугольника. Формула: Площадь = 1/2 х основание х высота.
   • Если вам дан треугольник с основанием 10 и высотой 8, то его площадь = 1/2 х 8 х 10 = 40.
2. 2 Площадь квадрата. Формула: Площадь = сторона х сторона = сторона^2.
   • Если сторона квадрата равна 6, то его площадь = 6 х 6 = 6^2 = 36.
3. 3 Площадь прямоугольника. Формула: Площадь = длина х ширина.
   • Если длина прямоугольника равна 4, а ширина равна 3, то его площадь = 4 х 3 = 12.
4. 4 Площадь трапеции. Формула: Площадь = [(основание1 + основание2) х высота] / 2.
   • Например, дана трапеция с основаниями 6 и 8 и высотой 10. Ее площадь = [(6 + 8)•10]/2 = (14 х 10)/2 = 140/2 = 70.

Метод 3 из 3: Вычисление площади неправильного многоугольника

1. 1 Используйте координаты вершин неправильного многоугольника, чтобы вычислить его площадь.
2. 2 Сделайте таблицу. Запишите координаты вершин (х,у) (вершины выбирать последовательно в направлении против часовой стрелки). В конце списка еще раз напишите координату первой вершины.
3. 3 Умножьте значение координаты «х» первой вершины на значение координаты «у» второй вершины (и так далее). Сложите результаты (в нашем примере сумма равна 82).
4. 4 Умножьте значение координаты «у» первый вершины на значение координаты «х» второй вершины (и так далее). Сложите результаты (в нашем примере сумма равна -38).
5. 5 Вычтете сумму, полученную в шаге 4, из суммы, полученной в шаге 3. В нашем примере: (82) - (-38) = 120.
6. 6 Разделите полученный результат на 2, чтобы найти площадь многоугольника: S=120/2 = 60 (квадратных единиц).

Советы

• Если вы записываете координаты вершин в направлении по часовой стрелке, вы получите отрицательную площадь. Таким образом, это можно использовать для описания цикла или последовательности данного набора вершин, формирующих многоугольник.
• Данная формула находит площадь с учетом формы многоугольника. Если многоугольник имеет форму цифры 8, то необходимо из площади с вершинами против часовой стрелки вычесть площадь с вершинами по часовой стрелке.