Как найти площадь четырехугольника

4 методика:Квадрат, прямоугольник и другие параллелограммыТрапецияДельтоидЧетырехугольник произвольной формы

Вам дана задача, в которой требуется найти площадь четырехугольника, а вы даже не знаете, что такое четырехугольник? Не волнуйтесь, эта статья вам поможет! Четырехугольник - это любая фигура с четырьмя сторонами. Для вычисления площади четырехугольника нужно определить тип четырехугольника, который вам дан, и воспользоваться соответствующей формулой.

Шаги

Метод 1 из 4: Квадрат, прямоугольник и другие параллелограммы

1. 1 Определение параллелограмма. Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны друг другу. Квадраты, прямоугольники и ромбы – это параллелограммы.
2. Квадрат – это параллелограмм, у которого все стороны равны и пересекаются под прямым углом.
3. Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все стороны пересекаются под прямым углом.
4. Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.
5. 2 Площадь прямоугольника. Для вычисления площади прямоугольника нужно знать его ширину (короткая сторона; представьте ее как высоту) и длину (длинная сторона; представьте ее как сторону, к которой проведена высота). Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину.
6. Площадь = длина х ширина, или A = b х h.
7. Пример: если длина прямоугольника равна 10 см, а ширина равна 5 см, то площадь этого прямоугольника: А = 10 х 5 = 50 квадратных сантиметров.
8. Не забывайте, что площадь измеряется в квадратных единицах (квадратных метрах, квадратных сантиметрах и так далее).
9. 3 Площадь квадрата. Квадрат – это частный случай прямоугольника, поэтому используйте ту же формулу, что и для нахождения площади прямоугольника. Но в квадрате все стороны равны, поэтому площадь квадрата равна любой из его сторон, возведенной в квадрат (то есть умноженной саму на себя).[1]
10. Площадь = сторона х сторона, или A = s2.
11. Пример: если сторона квадрата равна 4 см (s = 4), то площадь этого квадрата: А = s2 = 4 х 4 = 16 квадратных сантиметров.
12. 4 Площадь ромба равна произведению его диагоналей, разделенное на два. Диагонали – это отрезки, соединяющие противоположные вершины ромба.[2]
13. Площадь = (диагональ1 х диагональ2)/2, или A = (d1 × d2)/2
14. Пример: если диагонали ромба равны 6 см и 8 см, то площадь этого ромба: А = (6 х 8)/2 = 24 квадратных сантиметров.
15. 5 Также вы можете найти площадь ромба, умножив его сторону на высоту, опущенную на эту сторону. Но не путайте высоту со смежной стороной. Высота – это прямая, опущенная из любой вершины ромба на противоположную сторону, и пересекающая противоположную сторону под прямым углом.
16. Пример: если длина ромба равна 10 см, а его высота равна 3 см, то площадь такого ромба равна 10 х 3 = 30 квадратных сантиметров.
17. 6 Формулы для вычисления площадей ромба и прямоугольника применимы к квадратам, так как квадрат – это частный случай как прямоугольника, так и ромба.
18. Площадь = сторона х высоту, или A = b × h
19. Площадь = (диагональ1 × диагональ2)/2, или A = (d1 × d2)/2
20. Пример: если сторона квадрата равна 4 см, то его площадь равна 4 х 4 = 16 квадратных сантиметров.
21. Пример: диагонали квадрата равны по 10 см. Вы можете найти площадь этого квадрата по формуле: (10 х 10)/2 = 100/2 = 50 квадратных сантиметров.

Метод 2 из 4: Трапеция

1. 1 Определение трапеции. Трапеция - это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны друг другу. Каждая из четырех сторон трапеции может быть разной длины.
2. Есть два способа вычисления площади трапеции (в зависимости от данных значений).
3. 2 Найдите высоту трапеции. Высота трапеции – отрезок, соединяющий параллельные стороны (основания) и пересекающий их под прямым углом (высота не равна боковым сторонам). Вот как найти высоту трапеции:[3]
4. Из точки пересечения меньшего основания и боковой стороны проведите перпендикуляр к большему основанию. Этот перпендикуляр и есть высота трапеции.
5. Используйте тригонометрию для вычисления высоты. Например, если вы знаете боковую сторону и прилегающий к ней угол, то высота равна произведению боковой стороны на синус прилегающего угла.
6. 3 Найдите площадь трапеции, используя высоту. Если вы знаете высоту трапеции и оба основания, используйте следующую формулу для вычисления площади трапеции:
7. Площадь = (основание1 + основание2)/2 × высота, или A = (a+b)/2 × h
8. Пример: если высота трапеции равна 2 см, а основания трапеции равны 7 см и 11 см, то площадь этой трапеции: А = (a+b)/2 * h = (7 + 11)/2 * 2 = 18 квадратных сантиметров.
9. Если высота трапеции равна 10, а основания трапеции равны 7 и 9, то площадь этой трапеции: K = (a+b)/2 * h = (7 + 9)/2 * 10 = (16/2) * 10 = 8 * 10 = 80.
10. 4 Найдите площадь трапеции, используя среднюю линию. Средняя линия – это отрезок, параллельный основаниям и делящий боковые стороны пополам. Средняя линия равна среднему значению от обоих оснований (a и b): средняя линия = (a+b)/2.
11. Площадь = средняя линия х высота, или A = m × h
12. По сути, здесь вы используете формулу для нахождения площади трапеции по двум основаниям, но вместо (a+b)/2 подставлена m (средняя линия).
13. Пример: если средняя линия трапеции равна 9 см, то площадь этой трапеции: K = m*h = 9 х 2 = 18 квадратных сантиметров (вы получили тот же ответ, что и в предыдущем шаге).

Метод 3 из 4: Дельтоид

1. 1 Определение дельтоида. Дельтоид - это четырехугольник с двумя парами сторон одинаковой длины.
2. Есть два способа вычисления площади дельтоида (в зависимости от данных значений).
3. 2 Найдите площадь дельтоида, используя формулу для нахождения площади ромба (с использованием диагоналей), так как ромб – это частный случай дельтоида, у которого все стороны равны. Напомним, что диагональ – отрезок, соединяющий противоположные вершины.
4. Площадь = (диагональ1 х диагональ2)/2, или A = (d1 × d2)/2
5. Пример: если диагонали дельтоида равны 19 см и 5 см, то площадь этого дельтоида: А = (19 х 5)/2 = 47,5 квадратных сантиметров.
6. Если вы не знаете длины диагоналей и не может измерить их, используйте тригонометрию, чтобы вычислить их.
7. 3 Найдите площадь дельтоида, используя неравные стороны и угол между ними. Если вы знаете неравные стороны и угол между этими сторонами (θ), то площадь дельтоида вычисляется с помощью тригонометрии по формуле:[4]
8. Площадь = (сторона1 х сторона2) х sin (угол), или A = (s1 × s2) × sin(θ), где θ – угол между неравными сторонами.
9. Пример: Если стороны дельтоида равны 4 см и 6 см, а угол между ними равен 120 градусам, то площадь дельтоида равна (6 х 4) х sin120 = 24 х 0,866 = 20,78 квадратных сантиметров.
10. Обратите внимание, что вы должны использовать две неравные стороны и угол между ними; если вы используете две равные стороны и угол между ними, вы получите неправильный ответ.

Метод 4 из 4: Четырехугольник произвольной формы

1. 1 Если вам дан четырехугольник произвольной формы, то даже для таких четырехугольников существуют формулы для вычисления их площадей. Обратите внимание, что такие формулы требуют знания тригонометрии.
2. Во-первых, найдите длины всех четырех сторон. Обозначим их через a, b, c, d («а» напротив «с», а «b» напротив «d»).
3. Пример: дан четырехугольник произвольной формы со сторонами 12 см, 9 см, 5 см и 14 см.
4. 2 Найдите угол А между сторонами а и d и угол С между сторонами b и с (вы можете найти любые два противолежащих угла).
5. Пример: в нашем четырехугольнике А = 80 градусов и C = 110 градусов.
6. 3 Представьте, что существует отрезок, соединяющий вершины, образованные сторонами а и b и сторонами с и d. Этот отрезок разделит четырехугольник на два треугольника. Так как площадь треугольника равна 1/2absinC, где C – угол между сторонами a и b, вы можете найти площади двух треугольников и сложить их, чтобы вычислить площадь квадрата.
7. Площадь = 0,5 х сторона1 х сторона4 х sin(угол между стороной1 и стороной4) + 0,5 х сторона2 х сторона3 х sin(угол между стороной2 и стороной3), или
8. Площадь = 0,5 a × d × sin A + 0,5 × b × c × sin C
9. Пример: вы нашли стороны и углы, поэтому просто подставьте их в формулу. = 0,5 (12 × 14) × sin (80) + 0,5 × (9 × 5) × sin (110) = 84 × sin (80) + 22,5 × sin (110) = 84 × 0,984 + 22,5 × 0,939 = 82,66 + 21,13 = 103,79 квадратных сантиметров.
10. Обратите внимание, что если вы пытаетесь найти площадь параллелограмма (у которого противоположные углы равны), то формула примет вид: площадь = 0.5*(ad + bc) * sin A

Советы

• Этот калькулятор для вычисления площади треугольника пригодится вам при вычислении площади четырехугольника произвольной формы. [5]
• Для получения дополнительной информации прочитайте статьи по вычислению площади квадрата, площади прямоугольника, площади ромба, площади трапеции и площади дельтоида.