Как найти обратную матрицу 3х3

2 методика:Классический способвекторного произведения (алгебра Грассмана)

Нахождение обратной матрицы размером 3x3 вручную занимает много времени. В процессе нужно решить несколько матричных уравнений.

Шаги

Метод 1 из 2: Классический способ

1. 1 Найдите определитель матрицы М, обозначаемый как det(М). Если определитель равен нулю, то у данной матрицы нет обратной матрицы.
2. 2 Найдите транспонированную матрицу MT. В транспонированной матрице переставлены элементы (i,j) и (j,i) (то есть строки заменены на столбцы).
3. 3 Найдите определитель каждой матрицы размером 2x2.
4. 4 Из определителей составьте матрицу так, как показано на рисунке и умножьте каждый элемент матрицы на соответствующий знак (см. рисунок). Вы получите присоединенную матрицу, которую обозначим как Adj(M).
5. 5 Найдите обратную матрицу, разделив присоединенную матрицу на определитель, найденный в шаге 1.
6. 6 Вы можете объединить эти шаги через транспозицию, скопировав первые два столбца и строки, и вычисление определителей матриц размером 2х2. Определитель вычисляется три раза; если результаты совпадают, то это знаменатель (а знаки уже правильные).[1]

Метод 2 из 2: векторного произведения (алгебра Грассмана)

1. 1 Пусть М - матрица размером 3х3, а D - ее определитель. Пусть ci - векторы-столбцы M при i = 0..2.
2. 2Вычислите D = c ^ c1 ^ c2, где «^» обозначает векторное произведение.
   • Если D = 0, то обратная матрица не существует.
   • В противном случае строка i в M-1 = (c(i+1) mod 3 ^ c(i + 2) mod 3)) / D, где i = 0.2

Советы

• Этот способ можно применять к матрицам, которые включают переменные или неизвестные величина, например, к алгебраической матрице M и ее обратной матрице M-1.
• Записывайте вычисления - в уме найти обратную матрицу сложно.
• Существуют компьютерные программы, которые умеют находить обратную матрицу [2] размером до 30x30.
• Присоединенная матрица – матрица, составленная из алгебраических дополнений для соответствующих элементов транспонированной матрицы.
• Проверьте ваши вычисления, умножив матрицу M на M-1. Вы должны получить: M*M-1 = M-1*M = I. I – единичная матрица (главная диагональ включает только 1, а все остальные элементы – нули).

Предупреждения

• Не у всех матриц есть обратные матрицы. Если определитель равен нулю, то у матрицы нет обратной матрицы (в формуле присутствует деление на определитель, а деление на нуль не допускается).