Как найти обратную матрицу

2 методика:нахождение обратной для матрицы 2x2нахождение обратной для матрицы более 2x2

Матричная алгебра лежит в основе современных компьютерной графики и проектирования. Подобно тому, как обычная алгебра имеет дело с действительными числами, матричная алгебра описывает действия и методы, применяемые к матричным и векторным уравнениям. Матрица - это набор чисел, размещенных в виде столбцов и строк. Понятие обратной матрицы (называемой также обратным множителем) подобно обратному числу.

Шаги

Метод 1 из 2: нахождение обратной для матрицы 2x2

1. 1 Убедитесь, что ваша матрица квадратная. Матрица может иметь обратную лишь в том случае, когда число ее столбцов равно количеству строк. Если же матрица не квадратная, для нее не существует обратной матрицы.
2. 2 Проверьте, чтобы ваша матрица была 2x2. Если в вашей матрице 2 строки и 2 столбца, вы можете воспользоваться данным методом. Если же число столбцов или строк 3 или более, руководствуйтесь Методом 2.
3. 3 Формула. Для нахождения обратной матрицы (множителя) используйте приведенную выше формулу.
4. 4 Вычислите миноры. Пусть выбранный элемент матрицы находится на пересечении ее i-й строки и j-го столбца. Тогда соответствующий ему минор равен (-1)i+j det (ij), где det (ij) - детерминант матрицы 2x2, полученный при вычеркивании ее i-й строки и j-го столбца, в которых находится элемент с индексами i и j. Общий детерминант матрицы 2x2 имеет вид:
5. 5 Найдите детерминант вашей матрицы. Детерминант - особое число, которое может быть вычислено для любой квадратной матрицы. Обычно он обозначается прямыми линиями по краям, так же как и абсолютное значение. Для нахождения детерминанта сложите миноры элементов матрицы из первой строки.
6. 6 Проверьте, не равен ли детерминант нулю. Если его значение равно 0, данная матрица не имеет обратной.
7. 7 Найдите обратную матрицу. Для матрицы 2x2, как можно увидеть выше, это довольно легко: просто поменяйте положение элементов a и d, перед элементами b и c поставьте знак минуса, и поделите все на значение детерминанта.
   • Чтобы узнать, как это делается в более сложных случаях, смотрите Метод 2.

Метод 2 из 2: нахождение обратной для матрицы более 2x2

1. 1 Убедитесь, что ваша матрица квадратная. Матрица имеет обратную лишь в том случае, если число ее строк совпадает с количеством столбцов. Если ваша матрица не является квадратной, для нее не существует обратной матрицы.
2. 2 Проверьте количество строк и столбцов в вашей матрице. Если она содержит 2 строки и столько же столбцов, перед вами матрица 2x2, и вы можете воспользоваться методом, описанным выше. Если же матрица содержит 3 или более строк и столбцов, применяйте данный способ.
   • Возьмем, например, следующую матрицу:
     Матрица A квадратная с 3 строками и 3 столбцами, поэтому для нее надо использовать данный метод.
3. 3 Вычислите все миноры вашей матрицы. Пусть элемент лежит на пересечении i-й строки и j-го столбца. Тогда соответствующий ему минор равен (-1)i+j det (ij), где det (ij) - детерминант матрицы, в которой пропущены i-я строка и j-й столбец.
   • В нашем примере миноры равны:
     A11 =5 , A12 =-1 , A13 =-7 , A21 =-1 , A22 =-7 , A23 =-5 , A31 =-7 , A32 =5 , A33 =-1
4. 4 Найдите детерминант всей матрицы. Детерминант - это особое число, которое можно вычислить для любой квадратной матрицы. Обычно он обозначается прямыми линиями, как и абсолютное число. Для этого сложите миноры всех элементов из первой строки вашей матрицы.
   • В нашем примере детерминант матрицы равен:
     A11 + A12 + A13 = 5-1-7=-3
5. 5 Убедитесь, что детерминант не равен 0. Если его значение 0, данная матрица не имеет обратной.
   • Детерминант матрицы из нашего примера не равен 0 (его значение -3), поэтому можно продолжить.
6. 6 Постройте матрицу миноров. Если детерминант не равен 0, создайте из вычисленных ранее миноров матрицу.
   • В нашем примере матрица миноров выглядит так:
7. 7 Транспонируйте строки и столбцы. После построения матрицы миноров необходимо поменять местами строки со столбцами, найдя таким образом транспонированную матрицу миноров.
   • В нашем случае транспонированная матрица миноров имеет вид:
8. 8 Поделите эту матрицу на детерминант. После построения транспонированной матрицы поделите каждый ее элемент на значение детерминанта. В результате вы получите матрицу, обратную первоначальной.
   • В нашем случае обратная матрица такая:

Советы

• Помните, что матрица 2x2 имеет обратную только в том случае, если ab – cd не равно 0.
• Правильность найденной обратной матрицы может быть проверена путем умножения ее на первоначальную (прямую) матрицу - в результате должна получиться единичная матрица.
• Единичная матрица nxn - это матрица, диагональные элементы которой равны 1, а все остальные элементы равны 0.