Как найти обратную функцию

Одной из важнейших составляющих алгебры является понятие обратной функции. Обратная функции обозначается как f^-1(х) и графически представляется как отражение графика исходной функции относительно прямой у=х. В этой статье рассказывается, как найти обратную функцию.

Шаги

1. 1 Убедитесь, что данная функция биективна. Только биективные функции имеют обратные функции.
   • Функция биективна, если она проходит тест вертикальной и горизонтальной прямыми. Проведите вертикальную прямую через график функции и подсчитайте количество раз, прямая пересекает график функции. Потом проведите горизонтальную прямую через график функции и подсчитайте количество раз, прямая пересекает график функции. Если каждая прямая пересекает график функции только один раз, то функция биективна.
     • Если график не проходит тест вертикальной прямой, то он не задан функцией.
   • Для алгебраического определения биективности функции подставьте f(а) и f(b) в данную функцию и определите, выполняется ли равенство a=b. В качестве примера рассмотрим функцию f(x) = 3x+5.
     • f(a) = 3a + 5; f(b) = 3b + 5
     • 3a + 5 = 3b + 5
     • 3a = 3b
     • a = b
   • Таким образом, данная функция биективна.
2. 2 В данной функции поменяйте местами «х» и «у». Помните, что f(х) другое написание «у».
   • "f(x)" или "y" представляет собой функцию, а "х" – переменную. Чтобы найти обратную функцию, нужно поменять местами функцию и переменную.
   • Пример: Рассмотрим функцию f(x) = (4x+3)/(2x+5), которая является биективной. Поменяв местами «х» и «у», получите x = (4y + 3)/(2y + 5).
3. 3 Найдите «у». Решите новое уравнение и найдите «у».
   • Решение нашего примера:
     • х = (4y + 3)/(2y + 5)
     • х(2y + 5) = 4y + 3 – избавьтесь от дроби. Для этого умножьте обе части уравнения на знаменатель дроби (2у + 5).
     • 2xy + 5x = 4y + 3 – раскройте скобки.
     • 2xy - 4y = 3 - 5x – перенесите все члены с переменной (в данном случае это «у») на одну сторону уравнения.
     • у (2x - 4) = 3 - 5x – вынесите «у» за скобку.
     • у = (3 - 5x)/(2x - 4) – разделите обе части уравнения на (2х-4), чтобы получить окончательный ответ.
4. 4 Замените «у» на f^-1(х). Это есть обратная функция для исходной функции.
   • Окончательный ответ: f^-1(x) = (3 - 5x)/(2x - 4). Это обратная функция для f(х) = (4x + 3)/(2x + 5) .