Как найти область определения и область значений функции

Каждая функция содержит два типа переменных: независимую переменную и зависимую переменную. Например, в функции y = f(x) = 2x + y «х» является независимой переменной, а «у» - зависимой переменной. Область определения функции - это множество чисел, на котором задается функция (другими словами, это те значения «х», которые можно подставить в данное уравнение). Область значений функции – все значения, которые принимает функция в ее области определения (другими словами, это те значения «у», которые вы получаете при подстановке всех возможных значений «х»).

Шаги

1. 1 Если функция задана дробным выражением, найдите корни выражения, стоящего в знаменателе. Для этого приравняйте выражение, стоящее в знаменателе, к нулю и найдите «х».
   • Пример: дана функция е(х) = х + 5 / х - 2. Эта функция задана дробным выражением. Найдите корни выражения в знаменателе: х – 2 = 0; х = 2.
2. 2 Запишите область определения функции. После нахождения корней выражения в знаменателе запишите область определения функции в математической форме.
   • В нашем примере знаменатель равен 0 при х = 2, следовательно х не может принимать значение 2 (так как на 0 делить нельзя). Область определения запишется в следующем виде: (-∞; 2)U(2; +∞).
     
     
   • Читается так: от минус бесконечности до двух и от двух до плюс бесконечности.
3. 3 Нарисуйте координатную плоскость: проведите ось Х (горизонтально) и ось Y (вертикально).
4. 4 На осях координат нанесите числовые отметки (через равные промежутки).
5. 5 Найдите точки графика. Для этого подставьте в данную функцию значения «х» (из области определения функции) и найдите значения «у».
   • В нашем примере подставьте любые значения «х», кроме 2, так как 2 исключена из области определения.
6. 6 Отложите точки на координатной плоскости. Затем соедините их плавной линией.
7. 7 Найдите область значений функции. Для этого на координатной плоскости найдите такую горизонтальную прямую, которая не пересекается с графиком функции. Точка пересечения этой прямой и оси Y будет исключена из области значений функции.
   • В нашем примере прямая, заданная функцией у = 1, не пересекает график исходной функции. Следовательно «у» не принимает значение 1 и оно исключается из области значений функции. Математически область значений записывается так:
     (-∞,1)U(1,+∞)
   • Читается так: от минус бесконечности до единицы и от единицы до плюс бесконечности.

Советы

• Длина координатных осей должна быть такой, чтобы график хорошо отображался на координатной плоскости.
• В инженерном деле и в физике область определения и область значений функции очень важны, так как дают значения, при которых физическая система может стать нестабильной.