Как найти множество значений функции

4 методика:Поиск множества значений функции по формулеПоиск множества значений функции на графикеПоиск области значений множества координатПоиск области значений в задачах

Множество значений (область значений) функции – все значения, которые принимает функция в ее области определения. Другими словами, это те значения у, которые вы получаете при подстановке всех возможных значений х. Все возможные значения х и называются областью определения функции. Выполните следующие действия для нахождения множества значений функции.

Шаги

Метод 1 из 4: Поиск множества значений функции по формуле

1. 1 Запишите функцию. Например: f(x) = 3x2 + 6x -2. Эта квадратичная функция, и ее график – парабола.[1]
2. 2 Найдите вершину параболы. Если вам дана линейная функция или любая другая с переменной в нечетной степени, например, f(x) = 6x3+2x + 7, пропустите этот шаг. Но если вам дана квадратичная функция или любая другая с переменной х в четной степени, вы должны найти вершину графика этой функции. Для этого используйте формулу х=-b/2a.В функции 3x2 + 6x -2 a = 3, b = 6, c = -2. Вычисляем: х = -6/(2*3)= -1.[2]
   • Теперь подставьте х= -1 в функцию, чтобы найти у. f(-1) = 3*(-1)2 + 6*(-1) -2 = 3 - 6 -2 = -5.
   • Координаты вершины параболы (-1,-5). Нанесите ее на координатную плоскость. Точка лежит в третьем квадранте координатной плоскости.
3. 3 Найдите еще несколько точек на графике. Для этого подставьте в функцию несколько других значений х. Так как член x2 положительный, то парабола будет направлена вверх.[3]
   • f(-2) = 3(-2)2 + 6(-2) -2 = -2. первая точка на параболе (-2, -2)
   • f(0) = 3(0)2 + 6(0) -2 = -2. Вторая точка на параболе (0,-2)
   • f(1) = 3(1)2 + 6(1) -2 = 7. Третья точка на параболе (1, 7).
4. 4 Найдите множество значений функции на графике. Найдите наименьшее значение у на графике. Эта вершина параболы, где у=-5. Так как парабола лежит выше вершины, то множество значений функции y ≥ -5.[4]

Метод 2 из 4: Поиск множества значений функции на графике

1. 1 Найдите минимум функции. Вычислите наименьшее значение у. Допустим, минимум функции у=-3.
2. 2 Найдите максимум функции. Допустим, максимум функции у= 10.
3. 3 Запишите множество значений. Таким образом, множество значений функции лежит в диапазоне от -3 до +10. Запишите множество значений функции как: -3 ≤ f(x) ≤ 10
   • Но, допустим, минимум функции у=-3, а ее максимум – бесконечность (график функции уходит бесконечно вверх). Тогда множество значений функции: f(x) ≥ -3.
   • С другой стороны, если максимум функции у=10, а минимум – бесконечность (график функции уходит бесконечно вниз), то множество значений функции: f(x) ≤ 10.

Метод 3 из 4: Поиск области значений множества координат

1. 1 Запишите множество координат. Из множества координат можно определить его область значения и область определения. Допустим, дано множество координат: {(2, –3), (4, 6), (3, –1), (6, 6), (2, 3)}.[5]
2. 2 Перечислите значения у. Чтобы найти область значений множества, просто запишите все значения у: {-3, 6, -1, 6, 3}.[6]
3. 3 Удалите все повторяющиеся значения у. В нашем примере удалите " 6": {-3, -1, 6, 3}.[7]
4. 4 Запишите область значений в порядке возрастания. Областью значений множества координат {(2, –3), (4, 6), (3, –1), (6, 6), (2, 3)} будет {-3, -1, 3, 6}.[8]
5. 5 Убедитесь, что множество координат дано для функции. Чтобы это было так, каждому одному значению х должно соответствовать одно значение у. Например, множество координат {(2, 3) (2, 4) (6, 9)} дано не для функции, потому что одному значению х=2 соответствуют два разных значения у: у=3 и у=4.[9]

Метод 4 из 4: Поиск области значений в задачах

1. 1 Прочитайте задачу. "Ольга продает билеты в театр по 500 рублей за билет. Общая вырученная сумма за проданные билеты является функцией от количества проданных билетов. Какова область значений этой функции?
   
   
2. 2 Запишите задачу как функцию. В этом случае М - общая вырученная сумма за проданные билеты, а t – количество проданных билетов. Так как один билет стоит 500 рублей, надо умножить количество проданных билетов на 500, чтобы найти вырученную сумму. Таким образом, функция может быть записана в виде M(t) = 500t.
   • Например, если она продаст 2 билета, вы должны умножить 2 на 500 и получить 1000 рублей, вырученных за проданные билеты.
3. 3 Найдите область определения. Для нахождения области значений вы должны сначала найти область определения. Это все возможные значения t. В нашем примере Ольга может продать 0 или больше билетов, - она не может продать отрицательное число билетов. Поскольку мы не знаем количество мест в театре, можно предположить, что теоретически она может продать бесконечное число билетов. И она может продавать только целые билеты (она не может продать, например, 1/2 билета). Таким образом, область определения функции t = любое неотрицательное целое число.
4. 4 Найдите область значений. Это возможное количество денег, которые Ольга выручит от продажи билетов. Если вы знаете, что область определения функции - любое неотрицательное целое число, а функция имеет вид: М(t) = 5t, то вы можете найти вырученную сумму, подставив в функцию любое неотрицательное целое число (вместо t). Например, если она продаст 5 билетов, то М(5) = 5*500 = 2500 рублей. Если она продаст 100 билетов, то М(100) = 500 х 100 = 50000 рублей. Таким образом, область значений функции - любые неотрицательные целые числа, кратные пятистам.
   • Это означает, что любое неотрицательное целое число, которое делится на 500, является значением у (вырученная сумма) нашей функции.

Советы

• Посмотрите, можете ли вы найти обратную функцию. Область определения обратной функции равен области значений исходной функции.