Как найти математическую вероятность

3 методика:Вероятность независимого событияВероятность независимых событий, происходящих вместе/одновременноВероятность взаимозависимых событий

Вычисление вероятностей - очень важный навык в математике.

Шаги

Метод 1 из 3: Вероятность независимого события

1. 1 Посчитайте общее число отдельных равновероятных исходов эксперимента. Пускай это число равно n.
2. 2 Посчитайте число отдельных результатов, приводящих к интересующему вас событию. Пусть это число равно ne.
3. 3 Вычислите отношение ne/n. Это и будет вероятностью данного события.
4. 4 Пример: "Найдите вероятность выпадения четного числа при бросании кубика"
   • Эксперимент: подбрасывание игральной кости
   • Событие: выпадение четного числа
   • Шаги, описанные выше:
     1. Отдельные результаты - выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6; их общее количество n=6
     2. Исходы, приводящие к событию: 2, 4, 6. Это все четные числа, которые могут выпасть, их количество ne=3
     3. Вероятность: P = ne/n = 3/6 = 0,5 или 1/2

Метод 2 из 3: Вероятность независимых событий, происходящих вместе/одновременно

1. 1 Найдите вероятность каждого события по отдельности.
2. 2 Умножьте отдельные вероятности, чтобы найти вероятность одновременного происхождения событий.
3. 3 Пример: "Бросается кубик, подбрасывается монета, вращается рулетка с цифрами от 1 до 5. Найдите вероятность совместных событий: выпадение цифры 3 кубика, орла монеты и цифры 4 на рулетке".
   1. Отдельные вероятности:
      1. Выпадение цифры 3 кубика: P1 = 1/6 (согласно выше описанному методу)
      2. Выпадение решки монеты: P2 = 1/2
      3. Цифра 4 рулетки: P3 = 1/5
   2. Общая вероятность: P = P1*P2*P3 = 1/6 * 1/2 * 1/5 = 1/60

Метод 3 из 3: Вероятность взаимозависимых событий

1. 1 Вычислите вероятность первого события. Почти во всех случаях есть одно или несколько событий, от которых зависят остальные. Такие события следует рассматривать в первую очередь. Поскольку они являются независимыми, их вероятность находится так, как было описано выше.
2. 2 Определите изменения в условиях эксперимента, которые привнесет выполнение первого события. Как правило, выполнение первого события либо уменьшает, либо увеличивает число возможных исходов эксперимента.
3. 3 Рассчитайте вероятность второго события (события, непосредственно зависящего от выполнения первого события, или следующего сразу за ним), пользуясь описанным в первом разделе методом, с учетом изменений, изложенных во 2 разделе.
4. 4 Для последовательных событий повторяйте шаги 2 и 3, учитывая при расчете вероятностей последующих событий изменения, привнесенные предыдущими событиями.
5. 5 Перемножьте все найденные вами вероятности, найдя таким образом общую вероятность взаимозависимых событий.
6. 6 Пример: "Есть мешок с 5 зелеными, 2 красными и 3 синими шарами. Какова вероятность того, что вы случайным образом достанете из него два синих, а затем один красный шар?"
   1. Первое событие: доставание синего шара (первого из двух, которые необходимо вынуть из мешка)
      1. Отдельные исходы эксперимента: 5 зеленых + 2 красных + 3 синих = 10 шаров
      2. Исходы, соотвествующие нужному событию: 3 синих шара
      3. P1 = 3/10
   2. Изменения после первого события: число возможных исходов стало 5 зеленых + 2 красных + 2 синих = 9 шаров.
   3. Второе событие: выбор синего шара, одного из двух оставшихся, произойдет с вероятностью 2 синих шара/9 шаров = 2/9
   4. Изменения после второго события: число возможных исходов стало 5 зеленых + 2 красных + 1 синий = 8 шаров
   5. Третье событие: вынимание красного шара с вероятностью 2 красных шара/8 шаров = 1/4
   6. Общая вероятность: Ptotal = P1*P2*P3 = 3/10 * 2/9 * 1/4 = 6/360 = 1/60

Термины и определения

• Независимые события - два события, не влияющие друг на друга. Например, бросание кубика никак не влияет на результаты бросания второго кубика или подбрасывания монеты.
• Взаимозависимые события - события, влияющие друг на друга. Например, если из мешка достается шарик, который не заменяется аналогичным, это оказывает влияние на то, какой шарик будет вынут из мешка следующим.
• Эксперимент - набор условий и действий, при которых происходит событие. Другими словами, это совокупность действий с определенными объектами, приводящих к осуществлению неких событий. Например, подбрасывание монеты, метание кубика, вынимание шара из мешка, или даже поездка на автомобиле. Обстоятельства эксперимента определяются конкретной задачей.
• Условия - это набор объектов, используемых в эксперименте; например, кубик, две монеты, 6 зеленых шаров, автомобиль, шоссе. Они также определяются конкретной задачей.

Советы

• При расчете взаимозависимых событий легко запутаться. Нередко полезно представить последовательность событий и влияние, производимое ими на условия эксперимента, в виде какой-либо схемы.
• Обращайте пристальное внимание на каждое слово в постановке задачи. Особое внимание уделяйте следующим ключевым словам, полностью понимая их значение в контексте задачи:
  • И, или, не, но
  • Все, для каждого, для всех
  • Кроме
  • "По крайней мере", "наиболее"
  • "С", "без"
  • "Только если", "в том и только в том случае", "если"