Как найти функцию, обратную квадратичной функции

Найти функцию, обратную линейной функции, легко: надо просто сделать «х» зависимой переменной, а затем заменить «х» на «у». Этот процесс значительно усложняется в случае квадратичной функции.

Шаги

1. 1 Выполняйте любые алгебраические операции с обеих сторон функции, чтобы не изменить ее.
2. 2 Перепишите функцию в виде y=a(x-h)2+k. Это не только упростит нахождение обратной функции, но и позволит определить, имеет ли исходная функция обратную. Вы можете сделать это двумя способами:
   • Дополнение до полного квадрата.
     1. Вынесите коэффициент «а» (коэффициент при х2) за скобку, а члены функции разделите на коэффициент «а».
     2. Теперь коэффициент при «х» равен b/а. Разделите его на 2 и получите b/2a, а затем возведите в квадрат: (b/2a)2. Полученное значение одновременно прибавьте и вычтите из функции (чтобы не поменять ее значение). Теперь три первых члены в скобках записываются в виде a2+2ab+b2, где а = х, b = b/2a (эти величины имеют числовые значения). Эти три первых члена являются полным квадратом.
     3. Первые три члена можно записать в виде (a-b)2 или (a+b)2 (знак зависит от знака коэффициента при «х» в исходной функции).
     4. Оставшийся член вынесите за скобки и получите: y=a(x-h)2+k.
   • Сравнение коэффициентов.
     1. Слева запишите исходную функцию, а справа – ее желаемый вид (в нашем случае a(x-h)2+k). Это позволит вам найти значения a, h, k, верные при любом значении «х».
     2. Раскройте скобки с правой стороны уравнения (левую часть вообще не трогайте).
     3. Определите коэффициенты при х2 и «х».
     4. Сравните коэффициенты при х2 и «х» на правой и левой сторонах уравнения – они должны быть равны друг другу. Это приводит к функции вида a(x-h)2+k), в которой вместо «а» подставьте найденное значение. Коэффициент при x0 (или 1) на левой стороне уравнения должен быть равен коэффициенту на правой стороне. Сравнивая их, получите уравнение, которое поможет найти значение k.
     5. Используя найденные значения а, h, k, вы можете написать функцию в нужном виде.
3. 3 Убедитесь, что значение h лежит либо на границе области определения, либо вне ее. Значение h – это координата «х» экстремума функции. Если h лежит внутри области определения, то исходная функция не имеет обратной функции. Обратите внимание на знак в скобках: (x-h)2+k. Таким образом, если дано (х + 3), то h = -3 (отрицательное значение).
4. 4 Сделайте (x-h)2 зависимым выражением. Для этого вычтите k из обеих сторон уравнения, а затем разделите обе стороны уравнения на «а».
5. 5 Извлеките корень из обеих сторон уравнения. Вы избавитесь от степени. Не забудьте поставить знак +/- на другой стороне уравнения.
6. 6 Определите правильный знак (вы не можете оставить оба знака). Для этого рассмотрите область определения. Если х < определенного значения, то выберите «-». Если х > определенного значения, выберите «+». Теперь сделайте «х» зависимой переменной.
7. 7 Вместо «у» подставьте «х», а вместо «х» подставьте f-1(x). Вы нашли обратную функцию.

Советы

• Проверьте ответ, вычислив f(х) для некоторого значения «х», а затем подставьте найденное значение в обратную функцию, чтобы найти исходное значение «х». Например, если при х = 3, f(х) = 4, то, подставив 4 в обратную функцию, вы должны получить 3.
• Если возможно, проверьте ответ, построив график обратной функции. Он должен иметь вид графика исходной функции, но симметричный относительно прямой у = х.