Как делать математические доказательства

Писать математические доказательства может быть достаточно сложной задачей. Студенты, специализирующиеся в математике, компьютерных или любых других смежных областях, эта статья для вас. Просто следуйте указаниям, чтобы понять принцип доказательства теорем.

Шаги

1. 1 Поймите, что информация, используемая в математике - это та информация, которую ты уже знаешь, например, аксиомы или результаты доказательств других теорем.
2. 2 Выпишите изначальные условия и то, что должно быть доказано. Вам будет видно, что вы имеете вначале и, используя доказательства других теорем, аксиомы или другие формулы, которые уже доказаны, приступайте к доказательству. Понимание заключается в том, что вы можете повторить и переформулировать проблему тремя различными способами: формулами, графически и словами.
3. 3 Задавайте себе вопросы во время доказательства теоремы. "Почему это так?" и "Возможна ли ошибка в рассуждении?" - хорошие вопросы для любого логического заключения. Эти вопросы будут задаваться впоследствии вашим преподавателем на каждом этапе, и как только вы не сможете на него ответить ваша оценка начнет падать. Проверяйте каждый шаг причинностью! Контролируйте процесс.
4. 4 Убедитесь, что в вашем доказательстве не пропущены шаги. Все должно плавно перетекать из одного утверждения в другое так, чтобы не возникало сомнений в правильности и логичности доказательства. Это должно быть похоже на возведение дома: упорядоченно, систематизировано и ровным темпом. Вот графический пример доказательства теоремы Пифагора, который достаточно прост.[1].
5. 5 Спросите своего преподавателя или однокурсников, если у них какие-либо вопросы. Это нормально задавать вопросы в любое время - это все часть процесса обучения. Помните, что не бывает глупых вопросов.
6. 6 Обозначьте конец вашего доказательства. Есть несколько методов для этого:
   • Ч.Т.Д. (quod erat demonstrandum, что обозначает " что и требовалось доказать). Технически это допустимо, только тогда, когда доказана вся теорема.
   • Заштрихованный квадрат в конце доказательства - является символом этого метода.
   • Апогогия. (reductio ad absurdum, что можно перевести как "Доведение до абсурда") метод построен на приведении противоречия. Но также, если ваше доказательство было неверным, то это очень плохая пометка на вашей работе.
   • Если вы не уверенны, что ваше доказательство правильно, просто напишите несколько слов о том, почему стоит принять во внимание ваши заключения и что вы имели ввиду. Если вы используете один из вышеперечисленных приемов, но ваше доказательство будет неверным, вы рискуете не получить ни одного балла.
7. 7 Помните условия, которые вам дали. Просмотрите записи и книги, чтобы убедиться в правильности доказательства.
8. 8 Потребуется время для самостоятельного доказательства. Цель - не само доказательство, а понимание процессов и логических заключений. Если вы только доказали, но потом ушли заниматься своими делами, то вы забудете половину того, что доказали. Подумайте об этом, вы будете этим довольны?

Советы

• Попробуйте подвергнуть сомнению ваше доказательство. Например, вот возможное доказательство: квадратный корень числа (любое число) стремится к бесконечности, пока это число стремится к бесконечности.
  • "Для всех положительных n, квадратный корень n+1 больше, чем корень из n.
  • Так что, если это правда, что n увеличивается, когда его корень увеличивается; и если n стремится к бесконечности, то и корень из n стремится к бесконечности для всех n." (На слух это может звучать вполне нормально.)
  • Но, не смотря на то, что вывод вы сделали правильный, логика ваших рассуждений неправильна. Эти доказательства должны одинаково хорошо применяться как к arctg n, так и к квадратному корню из n. Arctan из n+1 всегда больше, чем arctan n для всех положительных n. Но arctan не стремится к бесконечности, он стремится к pi/2.
  • Так мы доказали, как это нужно делать. Чтобы исправить то, что что-то стремится к бесконечности, нам нужно чтобы для любого M существовало такое N при котором для всех n больше чем N, квадратный корень из n был бы больше чем M. Существует такое число - это M^2.
    • Этот пример показывает, что вы должны аккуратно проверять определение вещей, которые вы пытаетесь доказать.
• Доказательства - это сложная задача. Один замечательный способ выучить доказательства - это выучить аналогичную теорему и то, как она была доказана.
• Хорошее математическое доказательство делает каждый шаг очевидным.
• То, что на первый взгляд выглядит провалом, может на самом деле, быть вашим прогрессом, если это лучше, чем то, что у вас было вначале.
• Главная вещь в большинстве доказательств: они уже были доказаны, что означает, что они верны! Если вы пришли к выводу, который отличается от того, что должно быть, значит вы допустили где-то ошибку. Вернитесь назад и проверьте ваши рассуждения.
• Существуют тысячи идей, которые можно попрактиковать.
• Запись нескольких способов доказательства не редкость. Рассмотрение их может затянуться на десятки страниц или даже больше, так что будьте уверены, что вы правильно все делаете.
• Поймите, что доказательство - это просто хорошо аргументированная задача.Вы можете найти около 50 доказательств онлайн [2].