Как работать с эквивалентными дробями

5 методика:Получение эквивалентных дробейИспользование операции умножения для определения эквивалентностиИспользование операции деления для определения эквивалентностиИспользование умножения крест-накрест для нахождения переменнойИспользование формулы для нахождения корней квадратного уравнения

Две дроби эквивалентны, если они имеют одинаковое значение. Дроби 1/2 и 2/4 эквивалентны, поскольку значение 1 делить на 2 равно значению 2 делить на 4 или 0,5 в виде десятичной дроби. Преобразование дробей в эквивалентные дроби полезно при проведении обычных и сложных вычислений. Эта статья расскажет вам, как получать эквивалентные дроби через деление и умножение, а также о том, как решать уравнения с эквивалентными дробями.

Шаги

Метод 1 из 5: Получение эквивалентных дробей

1. 1 Умножьте числитель и знаменатель на одно и то же число. У двух эквивалентных дробей числители делятся друг на друга нацело, и знаменатели делятся друг на друга нацело (при этом вы должны получить одно число). Другими словами, умножив числитель и знаменатель какой-либо дроби на одно и то же число, вы получите эквивалентную дробь (значения исходной и полученной дробей будут одинаковыми).
2. Например, дана дробь 4/8. Умножьте числитель и знаменатель на 2 и получите: (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16. Эти две дроби эквивалентны.
3. (4 × 2) / (8 × 2) = 4/8 × 2/2. Помните, что при умножении двух дробей нужно перемножить их числители, а затем перемножить их знаменатели.
4. Обратите внимание, что 2/2 = 1. Таким образом, 4/8 и 8/16 – это эквивалентные дроби, так как умножая 4/8 на 1 (2/2 = 1), значение дроби не меняется. Поэтому 4/8 = 8/16.
5. Любая дробь имеет бесконечное число эквивалентных дробей. Вы можете умножить числитель и знаменатель на любое целое число, чтобы получить эквивалентную дробь.
6. 2 Разделите числитель и знаменатель на одно и то же число. Аналогично умножению, операция деления также может быть использована для того, чтобы получить новую дробь, которая будет эквивалентна исходной дроби. Для этого разделите числитель и знаменатель на одно и то же число (числитель и знаменатель должны делиться на это число без остатка, и в числителе и знаменателе должны быть целые числа).
7. Например, дана дробь 4/8. Если вместо умножения вы разделите числитель и знаменатель на 2, то получите: (4 ÷ 2) / (8 ÷ 2) = 2/4. 2 и 4 - целые числа, поэтому дробь 2/4 эквивалентна дроби 4/8.

Метод 2 из 5: Использование операции умножения для определения эквивалентности

1. 1 Если вам дана задача на определение эквивалентности двух дробей, то найдите число, на которое нужно умножить меньший знаменатель, чтобы получить больший знаменатель. Так вы приведете дроби к общему знаменателю.
2. Например, даны дроби 4/8 и 8/16. Меньший знаменатель 8 вы умножаете на 2 и получаете больший знаменатель 16. Таким образом, искомое число в данном примере – это число 2.
3. Для облегчения нахождения нужного числа просто разделите больший знаменатель на меньший знаменатель. В этом случае 16/8 = 2.
4. Число не обязательно будет целым. Например, если знаменатели равны 2 и 7, то число равно 3,5.
5. 2 Умножьте числитель и знаменатель меньшей дроби (с меньшим знаменателем) на найденное число. Если в результате вы получите большую дробь (с большим знаменателем), то данные дроби эквивалентны.[1]
6. В нашем примере умножьте меньшую дробь 4/8 на найденное число 2: (4 х 2)/(8 х 2) = 8/16. Вы получили большую дробь, поэтому данные дроби 4/8 и 8/16 являются эквивалентными.

Метод 3 из 5: Использование операции деления для определения эквивалентности

1. 1 Выразите каждую дробь в виде десятичной дроби, чтобы определить их эквивалентность. Для этого просто разделите числитель дроби на ее знаменатель.
2. Например, даны дроби 4/8 и 8/16. 4/8= 0,5; 8/16 = 0,5. Так как две десятичные дроби равны, то исходные дроби эквивалентны.
3. Помните, что в десятичной дроби после десятичной запятой может стоять бесконечной число цифр. Это надо учитывать при определении эквивалентности. Например, 1/3 = 0,333, а 3/10 = 0,3. Таким образом, дроби 1/3 и 3/10 не являются эквивалентными.
4. 2 Разделите числитель и знаменатель дроби на одно и то же число, чтобы получить эквивалентную дробь. При этом и в числителе, и в знаменателе должны находиться целые числа.
5. Например, дана дробь 4/8. Если вместо умножения вы разделите числитель и знаменатель на 2, то получите (4 ÷ 2)/(8 ÷ 2) = 2/4. 2 и 4 являются целыми числами, поэтому дробь 2/4 эквивалентна дроби 4/8.
6. 3 Упростите дробь, разделив числитель и знаменатель на наибольший общий делитель (НОД). Это самое большое число, на которое можно разделить и числитель и знаменатель. Этот шаг должен привести две дроби к наименьшему общему знаменателю (только если дроби эквивалентны).
7. При упрощении дроби вы получите дробь с наименьшими возможными числителем и знаменателем. Числитель и знаменатель не могут быть разделены на любое целое число; их необходимо делить на их НОД.
8. В нашем примере (дробь 4/8) НОД = 4, так как 4 – это наибольшее число, которое делит 4 и 8 без остатка. Чтобы упростить дробь, разделите числитель и знаменатель на 4: (4 ÷ 4)/(8 ÷ 4) = 1/2. Аналогично, в случае дроби 8/16 НОД = 8 и: (8 ÷ 8)/(16 ÷ 8) = 1/2.

Метод 4 из 5: Использование умножения крест-накрест для нахождения переменной

1. 1 Умножение крест-накрест используется в задачах с двумя эквивалентными дробями, одно из чисел в которых заменено на переменную (обычно «х»); эту переменную необходимо найти. Так как дроби эквивалентны, то их можно приравнять (поставить между ними знак равенства) и найти переменную при помощи умножения крест-накрест.[2]
2. 2 При умножении крест-накрест нужно умножить числитель первой дроби на знаменатель второй дроби, а затем умножить числитель второй дроби на знаменатель первой дроби; между результатами перемножения поставьте знак равенства.[3]
3. Например, даны две дроби 4/8 и 8/16. Они не содержат переменную, но используем умножение крест-накрест, чтобы проверить их эквивалентность: 4 х 16 = 8 х 8 или 64 = 64. Таким образом, эти дроби эквивалентны (если равенство не сохраняется, то дроби не являются эквивалентными).
4. 3 Введите переменную в одну из эквивалентных дробей, чтобы при помощи умножения крест-накрест найти ее.
5. Например, рассмотрим уравнение 2/х = 10/13. Умножьте 2 на 13 и 10 на «х», а затем приравняйте результаты друг другу:
6. 2 × 13 = 26
7. 10 × x = 10x
8. 10x = 26. Разделите обе части уравнения на 10 и получите х = 26/10 = 2,6.
9. 4 Умножение крест-накрест работает с любыми дробями, включая дроби со сложными выражениями. Например, если обе дроби содержат переменные, в процессе вычислений их необходимо сократить; если же числитель или знаменатель данных дробей содержат выражения (например, х + 1), то при умножении крест-накрест необходимо раскрыть скобки (перемножив число за скобками и каждый член выражения в скобках) и решить полученное уравнение стандартным способом.[4]
10. Например, рассмотрим уравнение ((х + 3)/2) = ((х + 1)/4).
11. (x + 3) × 4 = 4x + 12
12. (x + 1) × 2 = 2x + 2
13. 2x + 2 = 4x + 12. Перенесите 2х на правую сторону уравнения.
14. 2 = 2x + 12. Теперь перенесите 12 на левую сторону уравнения.
15. -10 = 2x. Разделите на 2 обе стороны уравнения.
16. -5 = х

Метод 5 из 5: Использование формулы для нахождения корней квадратного уравнения

1. 1 Этот метод также начинается с умножения крест-накрест, которое может привести к тому, что вы получите переменную во второй степени (в квадрате). В таких случаях, возможно, потребуется использовать такие методы, как разложение квадратного уравнения на множители или решение квадратного уравнения при помощи формулы.[5]
2. Например, рассмотрим уравнение ((x +1)/3) = (4/(2x - 2)). Умножьте крест-накрест:
3. (x + 1) × (2x - 2) = 2x2 + 2x -2x - 2 = 2x2 - 2
4. 4 × 3 = 12
5. 2x2 - 2 = 12.
6. 2 Выразите полученное уравнение в виде квадратного уравнения (ax2 + bx + c = 0), приравняв уравнение к нулю. В нашем примере перенесите 12 на левую сторону уравнения и получите 2x2 - 14 = 0.
7. Некоторые члены могут равняться 0. Хотя 2x2 - 14 = 0 является простейшей формой квадратного уравнения, его можно записать в виде 2x2 + 0х + (-14) = 0. Это, вероятно, поможет на ранней стадии, чтобы записать уравнение в стандартной форме квадратного уравнения, даже если некоторые члены 0.
8. 3 Решите уравнение, подставив числа из квадратного уравнения в формулу для вычисления корней квадратного уравнения. Формула: x = (-b +/- √(b2 - 4ac))/2a) поможет найти значения «х».[6] В эту формулу подставьте соответствующие числа из уравнения, полученного в шаге 2.
9. x = (-b +/- √(b2 - 4ac))/2a. В нашем примере 2x2 - 14 = 0, a = 2, b = 0, c = -14.
10. x = (-0 +/- √(02 - 4(2)(-14)))/2(2)
11. x = (+/- √( 0 - -112))/2(2)
12. x = (+/- √(112))/2(2)
13. x = (+/- 10,58/4)
14. x = +/- 2,64
15. 4 Проверьте ответ, подставив найденные значения «х» в исходное квадратное уравнение.[7] В нашем примере подставьте 2,64 и -2,64 в исходное квадратное уравнение.

Советы

• Преобразование дробей в эквивалентные дроби на самом деле является их умножением на 1. При преобразовании 1/2 в 2/4, умножение числителя и знаменателя на 2 на самом деле есть умножение 1/2 на 2/2, где 2/2=1.
• Если необходимо проверить эквивалентность смешанных чисел (например, 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3 и так далее), то сначала их необходимо преобразовать в неправильные дроби. Если вам нужно найти эквивалентную дробь смешанного числа, то это можете сделать двумя способами: преобразуйте смешанное число в неправильную дробь и воспользуйтесь методами, описанными в данной статье; или примените методы, описанные в данной статье, непосредственно к смешанному числу.

• Для преобразования смешанного числа в неправильную дробь умножьте целую часть смешанного числа на знаменатель дробной части, а затем сложите полученный результат с числителем дробной части. Знаменатель оставьте без изменений. Например, 1 2/3 = ((1 × 3) + 2)/3 = 5/3. Затем найдите эквивалентную дробь: 5/3 × 2/2 = 10/6; полученная дробь эквивалентна смешанному числу 1 2/3.
• Если вы не хотите конвертировать смешанное число в неправильную дробь, просто игнорируйте целую часть смешанного числа и работайте с его дробной частью. Например, в смешанном числе 3 4/16 работайте только с 4/16. 4/16 ÷ 4/4 = 1/4. Затем к полученному результату припишите целую часть исходного смешанного числа и получите эквивалентную дробь: 3 1/4.

Предупреждения

• Несмотря на то, что при перемножении дробей и числители, и знаменатели соответственно перемножаются, при сложении и вычитании дробей знаменатель остается прежним.

• Например, 4/8 ÷ 4/4 = 1/2 . Но 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 или 3/2, то есть при сложении вы получите совершенно другой результат.