Как определять четные и нечетные функции

2 методика:Алгебраический методГрафический метод

Вы можете определить, является ли функция четной или нечетной по ее виду (алгебраический метод) или по ее графику (графический метод). Эта статья расскажет вам об обоих методах.

Шаги

Метод 1 из 2: Алгебраический метод

1. 1 Вместо «х» подставьте в исходную функцию «-х».[1]
   • Пример A: f(x) = 4x2 - 7
     • f(-x) = 4(-x)2 - 7
   • Пример B: f(x) = 5x5 - 2x
     • f(-x) = 5(-x)5 - 2 (-x)
   • Пример C: f(x) = 7x2 + 5x + 3
     • f(-x) = 7(-x)2 + 5(-x) + 3
2. 2 Проанализируйте полученную функцию. Для этого вспомните правила возведения в степень и умножения.
   • Пример A: f(-x) = 4(-x)2 - 7
     • Здесь отрицательная величина, возведенная в четную степень, приведет к положительной величине. Поэтому можно записать:
     • f(-x) = 4(x)2 - 7
   • Пример B: f(-x) = 5(-x)5 - 2 (-x)
     • Здесь отрицательная величина, возведенная в нечетную степень, приведет к отрицательной величине. Поэтому знак «минус» можно вынести за скобки, перед этим умножив -1 на множитель, стоящий перед скобками. Можно записать:
     • f(-x) = -5x5 + 2x
   • Пример C: f(-x) = 7(-x)2 + 5(-x) + 3
     • Здесь отрицательная величина, возведенная в четную степень, приведет к положительной величине. Знак минус (во втором члене) можно вынести за скобки, перед этим умножив -1 на множитель, стоящий перед скобками. Можно записать:
     • f(-x) = 7x2 - 5x + 3
3. 3 Если функция f(-x) имеет тот же вид, что и исходная функция f(x), то исходная функция f(x) – четная. Если функция f(-x) отличается от исходной функции f(x) знаком, то исходная функция f(x) – нечетная. Если ни одно из условий не соблюдается, то функция не является ни четной, ни нечетной.[2]
   • В четной функции вид f(x) и вид f(-x) должны быть идентичными.
   • В нечетной функции всем знакам плюс в f(x) соответствуют знаки минус в f(-x) (и наоборот).
   • Запишем это алгебраически:
     • В четной функции: f(x) = f(-x)
     • В нечетной функции: f(-x) = f(х)
     • В противном случае: f(-x) ≠ f(x); f(-x) ≠ -f(x)
   • Пример A: f(x) = 4x2 - 7
     • f(-x) = 4(x)2 - 7
     • Эта функция четная.
     • Примечание: как правило, в четной функции перед каждым «х» стоит знак плюс.
   • Пример B: f(x) = 5x5 - 2x
     • f(-x) = -5x5 + 2x
     • Эта функция нечетная.
     • Примечание: если все показатели степени «х» - нечетные, то и сама функция нечетная.
   • Пример C: f(x) = 7x2 + 5x + 3
     • f(-x) = 7x2 - 5x + 3
     • Эта функция ни четная, ни нечетная.
     • Примечание: если показатели степени «х» как четные, так и нечетные, то функция ни четная, ни нечетная.

Метод 2 из 2: Графический метод

1. 1 Постройте график функции (лучше всего на миллиметровке). Для этого подставьте в функцию различные значения «х» и найдите соответствующие значения «у» (то есть вы получите координаты точек).
   • При построении графика f(х) заменяется на «у».
   • Нанесите шкалу на ось Х и ось Y.
   • Подставьте в функцию как положительные, так и противоположные им по знаку значения «х».
   • Пример: f(x) = 2x2 + 1
     • Найдите координаты точек графика:
     • f(1) = 2(1)2 + 1 = 2 + 1 = 3; [1, 3]
     • f(2) = 2(2)2 + 1 = 2(4) + 1 = 8 + 1 = 9; [2, 9]
     • f(-1) = 2(-1)2 + 1 = 2 + 1 = 3; [-1, 3]
     • f(-2) = 2(-2)2 + 1 = 2(4) +1 = 8 + 1 = 9; [-2, 9]
2. 2 Сравните значения «у» при «х» и «-x». Для этого найдите соответствующие значения «у» на графике.
   • Пример: на графике найдите f(3) и f(-3).
     • х = 3; у = 19
     • х = -3; у = 19
3. 3 Если функция четная, то она симметрична относительно оси Y. Если функция нечетная, то она симметрична относительно начала координат. Если ни одно из условий не соблюдается, то функция не является ни четной, ни нечетной.
   • «Симметрична относительно оси Y» означает, что график справа от оси Y зеркально отражает график слева от оси Y.
   • «Симметрична относительно начала координат» означает, что график в правой верхней четверти координатной плоскости зеркально отражает график в левой нижней четверти координатной плоскости; аналогично: график в левой верхней четверти координатной плоскости зеркально отражает график в правой нижней четверти координатной плоскости.
   • В нашем примере значениям «х» и «-х» соответствует одно значение «у», поэтому функция является четной.

Дополнительные примеры графического метода

1. 1 f(x) = x3.
   • Найдите координаты точек графика:
     • f(1) = (1)3 = 1; [1, 1]
     • f(-1) = (-1)3 = -1; [-1, -1]
     • f(3) = (3)3 = 27; [3, 27]
     • f(-3) = (-3)3 = -27; [-3, -27]
   • Сравните значения «у» при «х» и «-x». Для этого найдите соответствующие значения «у» на графике.
     • х = 2; у = 8
     • х = -2; у = -8
   • Эта функция нечетная.
2. 2 f(x) = x2 - 2x.
   • Найдите координаты точек графика:
     • f(1) = (1)2 - 2(1) = 1 – 2 = -1; [1, -1]
     • f(-1) = (-1)2 - 2(-1) = 1 + 2 = 3; [-1, 3]
     • f(3) = (3)2 - 2(3) = 9 – 6 = 3; [3, 3]
     • f(-3) = (-3)2 - 2(-3) = 9 + 6 = 15; [-3, 15]
   • Сравните значения «у» при «х» и «-x». Для этого найдите соответствующие значения «у» на графике.
     • x = 2; y = 0
     • x = -2; y = 8
   • Эта функция ни четная, ни нечетная.

Что вам понадобится

• Карандаш
• Бумага
• Миллиметровка
• Калькулятор (опционально)