Как найти точки перегиба кривой

3 методика:Определение точки перегибаВычисление производных функцииПоиск точки перегиба

В дифференциальном исчислении точка перегиба - эта точка кривой, в которой ее кривизна меняет знак (с плюса на минус или с минуса на плюс). Это понятие используется в машиностроении, экономике и статистике для определения существенных изменений в данных.

Шаги

Часть 1 из 3: Определение точки перегиба

1. 1 Определение вогнутой функции. Середина любой хорды (отрезок, соединяющий две точки) графика вогнутой функции лежит либо под графиком, либо на нем.
2. 2 Определение выпуклой функции. Середина любой хорды (отрезок, соединяющий две точки) графика выпуклой функции лежит либо над графиком, либо на нем.
3. 3 Определение корней функции. Корень функции – это такое значение переменной «х», при котором у = 0.
   • При построении графика функции корни – это точки, в которых график пересекает ось Х.

Метод 2 из 3: Вычисление производных функции

1. 1 Найдите первую производную функции. Посмотрите правила дифференцирования в учебнике; вы должны научиться брать первые производные, и только потом переходить к более сложным вычислениям. Первые производные обозначаются как f '(х). Для выражений вида ax^p + bx^(p−1) + cx + d первая производная имеет вид: apx^(p−1) + b(p − 1)x^(p−2) + c.
   • Например, найдите точки перегиба функции f(х) = х^3 +2х -1. Первая производная этой функции имеет вид:
     
     f ′(x) = (x^3 + 2x − 1)′ = (x^3)′ + (2x)′ − (1)′ = 3x^2 + 2 + 0 = 3x2 + 2
2. 2 Найдите вторую производную функции. Вторая производная – это производная от первой производной исходной функции. Вторая производная обозначается как f ′′(x).
   • В приведенном выше примере вторая производная имеет вид:
     
     f ′′(x) = (3x2 + 2)′ = 2 × 3 × x + 0 = 6x
3. 3 Приравняйте вторую производную к нулю и решите полученное уравнение. Полученный результат будет предполагаемой точкой перегиба.
   • В приведенном выше примере ваш расчет выглядит следующим образом:
     
     f ′′(x) = 0
     6x = 0
     x=0
4. 4 Найдите третью производную функции. Чтобы убедиться, что полученный результат на самом деле является точкой перегиба, найдите третью производную, которая является производной от второй производной исходной функции. Третья производная обозначается как f ′′′(x).
   • В приведенном выше примере третья производная имеет вид:
     
     f ′′′(x) = (6x)′ = 6

Часть 3 из 3: Поиск точки перегиба

1. 1 Проверьте третью производную. Стандартное правило оценки предполагаемой точки перегиба: если третья производная не равна нулю (то есть f ′′′(x) ≠ 0), то предполагаемая точка перегиба является настоящей точкой перегиба. Проверьте третью производную; если она не равна нулю, то вы нашли настоящую точку перегиба.
   • В приведенном выше примере третья производная равна 6, а не 0. Поэтому вы нашли настоящую точку перегиба.
2. 2 Найдите координаты точки перегиба. Координаты точки перегиба обозначаются как (x,f(x)), где х - значение независимой переменной «х» в точке перегиба, f(х) - значение зависимой переменной «у» в точке перегиба.
   • В приведенном выше примере при приравнивании второй производной к нулю вы нашли, что х = 0. Таким образом, чтобы определить координаты точки перегиба, найдите f(0). Ваш расчет выглядит следующим образом:
     
     f(0) = 0^3 +2×0−1 = −1.
3. 3 Запишите координаты точки перегиба. Координаты точки перегиба – это найденные значения «х» и f(x).
   • В приведенном выше примере точка перегиба - это точка с координатами (0, -1).

Советы

• Первая производная от свободного члена (простого числа) всегда равна нулю.