Как найти радиус круга

2 методика:Вычисление радиуса по основным величинамВычисление радиуса по трем точкам на окружности

Радиус круга - отрезок, соединяющий центр круга с любой точкой на его окружности. Значение радиуса используется для вычисления длины окружности, площади круга, диаметра окружности, а также при нахождении объема трехмерных фигур, например, объема цилиндра. Радиус круга равен d/2, где d – диаметр круга; C/2π, где C – длина окружности; √(A/π), где A – площадь круга.

Шаги

Метод 1 из 2: Вычисление радиуса по основным величинам

Определение основных величин

1. 1 Радиус можно найти по известным значениям основных величин круга/окружности. К таким величинам относятся:
   • Длина окружности (C).
   • Диаметр (D) (отрезок, соединяющей две точки на окружности и проходящий через центр круга).
   • Радиус (R) (отрезок, соединяющий центр круга с любой точкой на окружности).
   • Площадь (A) (пространство, ограниченное окружностью).
   • Число Пи (π) (математическая постоянная, представляющая отношение длины окружности к ее диаметру; это число применяется при вычислении всех основных величин круга и обычно округляется до 3,14).
2. 2 Ниже приведены формулы для вычисления диаметра, длины окружности и площади круга; каждая из них включает радиус. Запомните: обособив радиус на одной стороне формулы, вы сможете найти его по известным значениям основных величин круга/окружности.
   • D = 2r. Диаметр вдвое больше радиуса.
   • С = πD = 2πr. Длина окружности равна произведению π на ее диаметр. Так как диаметр в два раза больше радиуса, то длина окружности равна произведению π на двойку и на радиус этой окружности.
   • A = πr^2. Площадь круга равна произведению квадрата его радиуса на π.

Вычисление радиуса по формулам

1. 1 Если вам дан диаметр, разделите его пополам (на 2) и получите радиус. Так как D = 2r, то r =D/2.
   • Например, если диаметр круга равен 10 м, то радиус круга равен 10/2 = 5 м.
2. 2 Если вам дана длина окружности, разделите ее на 2π и получите радиус. Так как C = 2πr, то r = C/2π.
   • Например, если длина окружности равна 10 см, то сначала разделите это значение на π: 10/π = 3,14 см. Теперь разделите полученное значение на 2, чтобы вычислить радиус: 3,14/2 = 1,59 см.
3. 3 Если вам дана площадь круга, разделите ее на π и из полученного значения извлеките квадратный корень, чтобы найти радиус. Так как А = πr2, то r = √(A/π).
   • Например, площадь круга равна 10 м2. Сначала разделите это значение на π: 10/π = 3,14. Теперь из полученного значения извлеките квадратный корень, чтобы найти радиус: √3,14 = 1,78 м.

Метод 2 из 2: Вычисление радиуса по трем точкам на окружности

1. 1 Если вам не даны значения диаметра, длины окружности или площади круга, вы можете вычислить радиус круга по координатам трех точек на окружности (назовем их P1, P2 и P3). Это делается при помощи одной из двух формул, приведенных ниже.
   • Формулы для нахождения радиуса круга по трем точкам, лежащем на окружности:
     • (abc)/(√(a + b + c)(b + c - a)(c + a - b)(a + b - c)), где a, b, c – стороны треугольника с вершинами в точках P1, P2, P3.[1]
     • a/(2sin(θ)), где a –сторона треугольника с вершинами в точках P1, P2, P3; θ – противолежащий угол.
   • Во второй формуле вам нужно знать только координаты двух точек и угол; если угол не дан, вам понадобятся координаты всех трех точек.
2. 2 Найдите расстояние между каждыми двумя точками, чтобы определить значения сторон треугольника. Для этого подставьте известные вам координаты в формулу: Расстояние = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2), где x1,y1 - координаты первой точки; x2,y2 - координаты второй точки.
   • Пример. На окружности круга лежат точки с координатами (3,0), (3,8) и (-1, 4). Найдите расстояние между точками (3,8) и (-1,4) по следующей формуле (то есть вы находите сторону треугольника):
     • √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2)
     • √((-1 - 3)2 + (4 - 8)2)
     • √((-4)2 + (-4)2)
     • √(16 + 16) = √(32) = 5,66
3. 3 Найдите расстояние между двумя другими парами точек (то есть найдите две другие стороны треугольника) при помощи процесса, описанного в предыдущем шаге. Подставьте известные вам координаты в ту же формулу: Расстояние = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2).
   • В нашем примере вам необходимо найти расстояние между точками (3,0) и (3,8) и между точками (3,0) и (-1, 4). В первой паре меняется только координата «у», поэтому расстояние равно 8. Расстояние между второй парой точек вычислите следующим образом:
     • √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2)
     • √((-1 - 3)2 + (4 - 0)2)
     • √((-4)2 + (4)2)
     • √(16 + 16) = √(32) = 5,66. Таким образом, стороны треугольника равны 5,66; 8; 5,66.
4. 4 Воспользуйтесь формулой (abc)/(√(a + b + c)(b + c - a)(c + a - b)(a + b - c)) для вычисления радиуса круга (a, b, c – стороны треугольника). Для этого подставьте в эту формулу найденные вами стороны треугольника.
   • В нашем примере а = 5,66; b = 8; с = 5,66.
     • (abc)/(√(a + b + c)(b + c - a)(c + a - b)(a + b - c))
     • ((5,66)(8)(5,66))/(√(5,66 + 8 + 5,66)(8 + 5,66 – 5,66)(5,66 + 5,66 - 8)(5,66 + 8 – 5,66))
     • (256,28)/(√(19,32)(8)(3,32)(8))
     • (256,28)/(√(4105,11))
     • (256,28)/(64,07) = 4. Радиус нашего круга равен 4. Этот ответ верный, потому что сторона треугольника, равная 8, проходит через центр круга, то есть это его диаметр. Так как радиус равен половине диаметра, то 8/2 = 4.
5. 5 Теперь найдем угол, противолежащий найденной стороне треугольника, по формуле (теорема косинусов): c2 = a2 + b2 - 2abCos(θ), где a, b, c – стороны треугольника, θ - угол между сторонами а и b, противолежащий стороне с. Найдя противолежащий угол, вы можете вычислить радиус по формуле: a/(2sin(θ))).
   • В нашем примере а = 5,66; b = 8; с = 5,66. Найдем угол, противолежащий первой стороне.
     • c2 = a2 + b2 - 2abCos(θ)
     • 5,662 = 5,662 + 82 - 2(5,66)(8)Cos(θ)
     • 32,04 = 32,04 + 64 – 90,56Cos(θ)
     • -64 = - 90,56Cos(θ)
     • 0.707 = Cos(θ)
     • θ = 45o (для нахождения угла необходимо вычислить arcos).
6. 6 Подставьте известные вам значения стороны треугольника и противолежащего угла в формулу а/(2sin(θ)), чтобы найти радиус круга. Эта формула выведена из теоремы синусов, которая гласит, что отношение стороны треугольника к ее противолежащему углу равно удвоенному радиусу (или диаметру) окружности, описанной вокруг треугольника, то есть а/sin(θ) = 2r.[2]
   • В нашем примере сторона равна 5,66, а противолежащий угол равен 45o. Подставьте эти значения в формулу.
     • a/(2sin(θ))
     • 5,66/(2sin(45o))
     • 5,66/ 2(0,707)
     • 5,66/1,414 = 4. Обратите внимание, что вы получили такое же значение радиуса, как и при использовании формулы ((abc)/(√(a + b + c)(b + c - a)(c + a - b)(a + b - c))).

Советы

• Пользуйтесь калькулятором для проверки ответа.
• Для получения более точных результатов на калькуляторе используйте клавишу π.