Как найти определитель матрицы 3Х3

Определитель матрицы необходим для нахождения обратной матрицы, а также применяется при решении некоторых уравнений, например, в методе Крамера. Кроме того, если определитель равен 0, то уравнения, составляющие матрицу, линейно зависимы.

Шаги

1. 1 Пусть М – это матрица 3X3, а ее определитель будет |M|.Пример:

   		a11	a12	a13		1	5	3
   M	=	a21	a22	a23	=	2	4	7
   		a31	a32	a33		4	6	2

2. 2 Выберите опорную строку или столбец. Выбор опорной строки или столбца является важным шагом, и если вы выбрали правильно, то вы упростите и ускорите решение задачи.
   • Обычно в качестве опорной строки выбирают первую строку. Если матрица содержит нулевые элементы, то в качестве опорной строки или столбца выберите строку или столбец с наибольшим количеством нулевых элементов.
   • Существует правило знаков, применяющееся исключительно к опорной строке или столбцу. Правило знаков приводится ниже.

     		(+) a11	(-) a12	(+) a13
     M	=	(-) a21	(+) a22	(-) a23
     		(+) a31	(-) a32	(+) a33

3. 3 Выберите первый элемент в опорной строке или столбце (первый опорный элемент) и вычеркните другие элементы, находящиеся с этим элементом в одной строке и столбце.
   • Вычислите определитель матрицы 2Х2, которая получается при вычеркивании элементов (в предыдущем шаге). Затем умножьте определитель матрицы 2Х2 на первый опорный элемент и его соответствующий знак.
   • Если вы выбрали первую строку в качестве опорной, то для ее первого элемента:(+)a11 * ( ( a22 * a33 ) - ( a23 * a32 ) ) = 1( 4*2 - 7*6 ) = -34
4. 4 Выберите второй элемент в опорной строке или столбце (второй опорный элемент) и вычеркните другие элементы, находящиеся с этим элементом в одной строке и столбце.
   • Вычислите определитель матрицы 2Х2, которая получается при вычеркивании элементов (в предыдущем шаге). Затем умножьте определитель матрицы 2Х2 на второй опорный элемент и его соответствующий знак.
   • Если вы выбрали первую строку в качестве опорной, то для ее второго элемента:(-)a12 * ( ( a21 * a33 ) - ( a23 * a31 ) ) = (-)5( 2*2 - 7*4 ) = 120
5. 5 Выберите третий элемент в опорной строке или столбце (третий опорный элемент) и вычеркните другие элементы, находящиеся с этим элементом в одной строке и столбце.
   • Вычислите определитель матрицы 2Х2, которая получается при вычеркивании элементов (в предыдущем шаге). Затем умножьте определитель матрицы 2Х2 на третий опорный элемент и его соответствующий знак.
   • Если вы выбрали первую строку в качестве опорной, то для ее третьего элемента:(+)a13 * ( ( a21 * a32 ) - ( a22 * a31 ) ) = 3( 2*6 - 4*4 ) = -12
6. 6 Сложите полученные результаты и вы найдете определитель матрицы 3Х3.|M| = -34 + 120 - 12 = 74

Советы

• Этот метод распространяется на квадратные матрицы любого ранга.
• Если вы выбираете первую строку в качестве опорной строки, то определитель равен:
  
  |M| = a11*((a22 * a33) - (a23*a32)) - a12*((a21*a33) - (a23*a31)) + a13*((a21*a32) - (a22*a31))
• Если все элементы опорной строки или столбца равны 0, то определитель также равен 0.

Предупреждения

• Не вычисляйте вручную определитель квадратных матриц, ранг которых больше 3.