Как найти корни квадратного уравнения

2 методика:Использование формулыНахождение корней через разложение на множители

Квадратное уравнение – это любое уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a ≠ 0. Нахождение корней квадратного уравнения – это то же самое, что и решение уравнения, то есть нахождение значений «х». Любое квадратное уравнение можно решить с помощью формулы x = (-b +/-√(b2 - 4ac))/2a. Кроме того, в зависимости от данного вам уравнения, вы можете воспользоваться некоторыми приемами, которые упростят нахождение корней.

Шаги

Метод 1 из 2: Использование формулы

1. 1 Запишите данное вам уравнение в форме квадратного уравнения. Квадратное уравнение – это полином второго порядка с одной переменной «х» и а ≠ 0.[1] Другими словами, это уравнение с одной переменной (обычно «х»), самый высокий показатель степени которой равен 2: ax2 + bx + c = 0
2. Чтобы записать данное вам уравнение в форме квадратного уравнения, перенесите все его члены на левую сторону, чтобы на правой стороне остался 0. Например, дано уравнение 2x2 + 8x = -5x2 - 11.
3. 2x2 + 8x = -5x2 + 11
4. 2x2 + 5x2 + 8x = + 11
5. 2x2 + 5x2 + 8x - 11 = 0
6. 7x2 + 8x - 11 = 0. Обратите внимание, что данное уравнение приняло вид ax2+ bx + c = 0.
7. 2 Подставьте значения коэффициентов a, b, c в формулу x = (-b +/-√(b2 - 4ac))/2a, чтобы найти значения «х» (то есть решить уравнение или найти корни). Так как квадратное уравнения имеет вид ax2+ bx + c = 0, то число, стоящее перед x2, равно «а», перед «х» равно «b», а свободный член равен «с».
8. В нашем примере: 7x2 + 8x - 11 = 0, a = 7, b = 8, c = -11.
9. Подставив эти значения в формулу, вы получите x = (-8 +/-√(82 - 4(7)(-11)))/2(7).
10. 3 Найдите значения «х» (с положительным и отрицательным знаком), выполнив основные алгебраические операции.
11. В нашем примере:
12. x = (-8 +/-√(82 - 4(7)(-11)))/2(7)
13. x = (-8 +/-√(64 - (28)(-11)))/(14)
14. x = (-8 +/-√(64 - (-308)))/(14)
15. x = (-8 +/-√(372))/(14)
16. x = (-8 +/- 19,29/(14)
17. 4 Для получения двух значений «х» необходимо прибавить и вычесть некоторое значение. Это обусловлено тем, что при извлечении корня из числа вы получаете два значения, которые равны по модулю, но противоположны по знаку.
18. Прибавьте и получите:
19. x = (-8 + 19,29)/(14)
20. x = 11.29/14
21. x = 0,81
22. Вычтите и получите:
23. x = (-8 - 19.29)/(14)
24. x = (-27.29)/(14)
25. x = -1,95 .
26. Таким образом, х1 = 0,81 и х2 = -1,95.
27. 5 Проверьте найденные корни, так как нахождение корней включает длинный ряд алгебраических операций и поэтому здесь легко допустить ошибку.
28. Быстрый и простой способ проверить корни уравнения – это подставить значения постоянных a, b, с в онлайн калькулятор квадратных уравнений, например, сюда.[2]
29. 6 Также вы можете проверить ответ вручную. Для этого подставьте найденные значения «х» в исходное уравнение. Если соблюдается равенство, то корни верные (из-за округлений чисел равенство может соблюдаться приблизительно).
30. Подставьте найденные значения «х» в исходное уравнение 7x2 + 8x - 11 = 0:
31. 7(-1,95)2 + 8(-1,95) - 11
32. 26,62 – 15,6 - 11
33. 26,62 – 26,5 = 0,02; 0,02 примерно равно 0, то есть равенство соблюдено и х1 – это корень данного уравнения.
34. 7(0,81)2 + 8(0,81) - 11
35. 4,59 + 6,48 - 11 = 0,07; 0,07 примерно равно 0, то есть равенство соблюдено и х2 – это корень данного уравнения.

Метод 2 из 2: Нахождение корней через разложение на множители

Разложение на множители при а = 1

1. 1 Запишите данное вам уравнение в форме квадратного уравнения. Вы можете найти корни уравнения и без использования формулы, например, некоторые квадратные уравнения можно переписать так, что найти корни будет очень легко. Но сначала запишите данное вам уравнение в форме квадратного уравнения: ax2 + bx + c = 0.
2. В этом разделе мы будем рассматривать только те квадратные уравнения, у которых а = 1 (уравнения с а ≠ 1 рассмотрены в следующем разделе). Например: x2 + 7x + 12 = 0.
3. 2 Запишите уравнение в виде (х + _)(х + _) = 0. Разложение квадратного уравнения на множители – это нахождение двух двучленов, при перемножении которых получается исходное уравнение. Так как x2 = х * х, то каждый двучлен начинается с «х»: (х + _) (х + _) = 0.
4. Обратите внимание на пробелы (обозначены символом подчеркивания; далее мы объясним, как найти числа, которые подставляются в эти пробелы).
5. 3 Разложите на множители коэффициент «с». То есть надо найти пары чисел, при перемножении которых получится значение «с».
6. В нашем уравнении с = 12. Множителями 12 являются пары чисел 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4.
7. 4 Найдите такую пару множителей «с», которая при суммировании дает значение коэффициента «b» (не перепутайте – искать множители «b» не нужно).
8. В нашем уравнении b = 7. Множителями «с» являются пары чисел 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4. Выбираем пару чисел 3 и 4, так как 3 + 4 = 7 (и b = 7).
9. Если нет такой пары множителей «с», которая при суммировании дает значение коэффициента «b», то уравнение разложить на множители описанным способом нельзя.[3] В этом случае воспользуйтесь другим методом нахождения корней квадратного уравнения.
10. 5 Теперь вместо пробелов в двух двучленах (см. выше) подставьте найденные числа (то есть подходящую пару множителей коэффициента «с»). Таким образом, вы разложите исходное уравнение на множители.
11. В нашем примере: (х + 3)(х + 4) = 0.
12. 6 Найдите два значения «х». Для этого приравняйте каждый из двучленов к 0 и решите их (это верно, так как даже если один из двучленов равен 0, то произведение двух двучленов равно 0).
13. В нашем примере: (х + 3) = 0 и (х + 4) = 0.
14. x + 3 = 0: x = -3
15. x + 4 = 0: x = -4
16. Обратите внимание, что эти ответы могут быть проверены теми же способами, которые описаны в предыдущем разделе.

Разложение на множители при а ≠ 1

1. 1 Разложите коэффициент «а» на множители. Так как «а» стоит перед x2, то каждый множитель будет включать переменную «х».
2. Например: 2x2 + 14x + 12 = 0. Здесь а = 2 и раскладывается на одну пару множителей 2 и 1. То есть первый член уравнения 2x2 = 2х * х.
3. Обратите внимание, что бывают случаи, когда у коэффициента «а» несколько пар множителей. Например, член 8x2 можно разложить на следующие множители: 8x * х и 2x * 4x. В этом случае необходимо проверить, какая пара множителей подходит для разложения данного уравнения.
4. 2 Запишите уравнение в виде ((множитель1) + _) ((множитель2) + _). Мы не начинаем двучлены с «х», как в предыдущем разделе, так как здесь перед «х» могут стоять некоторые коэффициенты.[4]
5. В нашем примере запишите уравнение в виде (2x + _)(х + _).
6. 3 Разложите на множители коэффициент «с». То есть надо найти пары чисел, при перемножении которых получится значение «с».
7. В нашем примере с = 12; множителями 12 являются пары чисел 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4.
8. 4 Вместо пробелов в произведении двух двучленов (см. выше) подставьте пары множителей «с» и найдите такую пару, которая при перемножении и суммировании членов двучленов даст значение «b». Помните, что здесь двучлены начинаются не с «х», а с некоторых членов, содержащих коэффициент и переменную «х».
9. В нашем примере b = 14, а второй член уравнения равен 14х. Это означает, что мы хотим найти два числа (пару множителей «с»), одно из которых умножим на 2х, другое на х, а затем сложим результаты произведения; полученная сумма должна равняться 14x.
10. Рассмотрим пару множителей 3 и 4: 3 * 2x = 6х; 4 * х = 4x; 4x + 6x = 10x. Не подходит. Поменяем местами числа: 4 * 2x = 8х; 3 * х = 3x; 8x + 3x = 11x. Не подходит.
11. Рассмотрим пару множителей 6 и 2: 6 * 2x = 12х; 2 * х = 2x; 12x + 2x = 14x. Подходит! Вместо пробелов подставьте числа 6 и 2.
12. 5 Теперь вместо пробелов в двух двучленах (см. выше) подставьте найденные числа (то есть подходящую пару множителей коэффициента «с»). Таким образом, вы разложите исходное уравнение на множители. Имейте в виду, что каждое число нужно ставить на свое место (не перепутайте!), чтобы в итоге получить правильный коэффициент «b». После этого приравняйте каждый из двучленов к 0 и решите их.
13. В нашем примере: (2x + 2)(х + 6) = 0.
14. 2x + 2 = 0
15. 2x = -2: x = -1
16. x + 6 = 0: x = -6

Советы

• Помните, что квадратный корень может быть как положительным, так и отрицательным. Поэтому у квадратного уравнения всегда два корня.
• Обратите внимание, что корни некоторых квадратных уравнений можно найти, дополнив уравнение до полного квадрата.
• Разложение на множители и дополнение до полного квадрата – это два обходных пути решения квадратного уравнения при помощи формулы. Если вам интересно, прочитайте статью о том, как вывести формулу для корней квадратного уравнения.