Как найти гипотенузу

3 методика:Теорема ПифагораЧастные случаиТеорема синусов

Все прямоугольные треугольники имеют один прямой угол (90 градусов), а противоположная ему сторона называется гипотенузой.[1] Гипотенузу можно найти различными способами. Эта статья расскажет вам, как найти гипотенузу по теореме Пифагора, по теореме синусов и в некоторых частных случаях.

Шаги

Метод 1 из 3: Теорема Пифагора

1. 1 Теорема Пифагора связывает все стороны прямоугольного треугольника.[2] Она утверждает, что в любом прямоугольном треугольнике с катетами «а» и «b» и гипотенузой «с»: a2 + b2 = c2.[3]
2. 2 Убедитесь, что данный вам треугольник является прямоугольным, так как теорема Пифагора применима только к прямоугольным треугольникам. В прямоугольных треугольниках один из трех углов всегда равен 90 градусам.
   • Прямой угол в прямоугольном треугольнике обозначается значком в виде квадрата.
3. 3 Обозначьте стороны треугольника. Катеты обозначьте как «а» и «b» (катеты – стороны, пересекающиеся под прямым углом), а гипотенузу – как «с» (гипотенуза – самая большая сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла). Затем подставьте данные вам значения в формулу.
   • Например, катеты треугольника равны 3 и 4. В этом случае а = 3, b = 4, а формула выглядит так: 32 + 42 = c2.
4. 4 Возведите в квадрат значения катетов («a» и «b»). Для этого просто умножьте число само на себя:
   • Если a = 3, то a2 = 3 x 3 = 9. Если b = 4, то b2 = 4 x 4 = 16.
   • Подставьте эти значения в формулу: 9 + 16 = с2.
5. 5 Сложите найденные квадраты катетов (a2 и b2), чтобы вычислить квадрат значения гипотенузы (с2).
   • В нашем примере 9 + 16 = 25, поэтому с2 = 25.
6. 6 Используйте калькулятор, чтобы извлечь квадратный корень из найденного значения. Так вы вычислите гипотенузу треугольника.
   • В нашем примере с2 = 25. Квадратный корень из 25 равен 5 (так как 5 х 5 = 25, поэтому √25 = 5). Это означает, что гипотенуза с = 5.

Метод 2 из 3: Частные случаи

1. 1 Определение пифагоровой тройки. Пифагорова тройка – это три числа (длины трех сторон), которые удовлетворяют теореме Пифагора. Очень часто треугольники с такими сторонами приводятся в учебниках и на тестах. Если вы запомните первые несколько пифагоровых троек, вы сэкономите много времени на тестах или экзаменах, потому что сможете вычислить гипотенузу, просто взглянув на длины катетов.[4]
   • Первая пифагорова тройка: 3-4-5 (32 + 42 = 52, 9 + 16 = 25). Если дан треугольник с катетами 3 и 4, то вы можете с уверенностью заявить, что гипотенуза равна 5 (без необходимости делать какие-либо расчеты).
   • Пифагоровы тройки работают даже в том случае, когда числа умножены или разделены на один коэффициент. Например, если катеты равны 6 и 8, гипотенуза равна 10 (62 + 82 = 102, 36 + 64 = 100). То же самое верно для 9-12-15 и даже для 1,5-2-2,5.[5]
   • Вторая пифагорова тройка: 5-12-13 (52 + 122 = 132, 25 + 144 = 169). Также к этой тройке относятся, например, числа 10-24-26 и 2,5-6-6,5.
2. 2 Равнобедренный прямоугольный треугольник. Это такой треугольник, углы которого равны 45,45 и 90 градусам. Соотношение между сторонами этого треугольника равно 1:1:√2. Это означает, что гипотенуза в таком треугольнике равна произведению катета и квадратного корня из 2.
   • Чтобы вычислить гипотенузу такого треугольника, просто умножьте длину любого катета на √2.[6]
   • Это соотношение особенно удобно, когда в задачах вместо числовых значений даются переменные.
3. 3 Половина равностороннего прямоугольного треугольника. Это такой треугольник, углы которого равны 30,60 и 90 градусам. Соотношение между сторонами этого треугольника равно 1:√3:2 или х:х√3:2х. Чтобы найти гипотенузу в таком треугольнике выполните одно из следующих действий:[7]
   • Если вам дан короткий катет (противолежащий углу в 30 градусов), просто умножьте длину этого катета на 2, чтобы найти длину гипотенузы. Например, если короткий катет равен 4, то гипотенуза равна 8.
   • Если вам дан длинный катет (противолежащий углу в 60 градусов), просто умножьте длину этого катета на 2/√3, чтобы найти длину гипотенузы. Например, если короткий катет равен 4, то гипотенуза равна 4,62.

Метод 3 из 3: Теорема синусов

1. 1 Синус, косинус и тангенс угла – это основные тригонометрические функции, связывающие углы и стороны в прямоугольном треугольнике. Синус угла (sin) равен отношению противолежащей стороны к гипотенузе.[8]
2. 2 Чтобы вычислить синус, на калькуляторе найдите клавишу «sin», нажмите ее, а затем введите значение угла. В некоторых калькуляторах сначала нужно нажать клавишу перехода к работе с функциями, а затем нажать клавишу «sin». Поэтому поэкспериментируйте с калькулятором или проверьте его документацию.
   • Чтобы найти синус угла в 80 градусов, нажмите «sin», «8», «0», «=» или нажмите «8», «0», «sin», «=» (ответ: -0,9939).
   • Вы также можете найти онлайн-калькулятор, введя в поисковике «вычисление синуса».[9]
3. 3 Теорема синусов является полезным инструментом для вычисления углов и сторон любого треугольника. В частности, она поможет вам найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если вам дан катет и угол, отличный от прямого. Терема синусов утверждает, что в любом треугольнике со сторонами a, b, c и углами A, B, C верно равенство a / sin A = b / sin B = c / sin С.[10]
   • Закон синусов применяется к любым треугольникам, а не только к прямоугольным (но только в прямоугольном треугольнике есть гипотенуза).
4. 4 Обозначьте стороны треугольника через «а» (известный катет), «b» (неизвестный катет), «с» (гипотенуза). Затем обозначьте углы треугольника через «А» (напротив катета «а»), «В» (напротив катета «b»), «С» (напротив гипотенузы).
5. 5 Найдите третий угол. Если вам дан один из острых углов прямоугольного треугольника (А или В), а второй угол всегда равен 90 градусам (С = 90), то третий угол вычисляется по формуле 180 - (90 + А) = B (помните, что сумма углов в любом треугольнике равна 180 градусам).
   • Например, если угол A = 40 градусам, то B = 180 - (90 + 40) = 180 – 130 = 50 градусов.
6. 6 На данном этапе вам известны значения всех трех углов и длина катета «а». Теперь вы можете подставить эти значения в формулу теоремы синусов, чтобы найти две другие стороны.
   • В нашем примере допустим, что катет а = 10, а углы равны C = 90˚, A = 40˚, В = 50˚.
7. 7 Подставьте данные и найденные значения в теорему синусов, чтобы найти гипотенузу: катет «а»/синус угла «A» = гипотенуза «с»/синус угла «С». При этом sin 90˚ = 1. Таким образом, уравнение упрощается до: а/sinA = с/1 или с = а/sinA.
8. 8 Разделите длину катета «а» на синус угла «А», чтобы найти длину гипотенузы. Для этого сначала найдите синус угла, а затем выполните деление. Или вы можете воспользоваться калькулятором, введя 10/(sin40) или 10/(40sin) (не забудьте про скобки).
   • В нашем примере sin 40 = 0,64278761, а с = 10/0,64278761 = 15,6.