Как использовать правило 72

2 методика:Экспоненциальный ростОценка экспоненциального падения

Правило 72 - это удобный прием, используемый в финансах для быстрой оценки времени, за которое удвоится капитал, вложенный под определенные проценты, а также при определении годовых процентов, необходимых для удвоения капитала за определенное количество лет. Правило гласит: произведение годового процента на число лет, необходимое для удвоения первоначальной суммы, примерно равно 72.

Правило 72 применимо в случае экспоненциального роста (для вычисления сложных процентов) или при экспоненциальном падении.

Шаги

Метод 1 из 2: Экспоненциальный рост

Вычисление времени удвоения

1. 1 Пусть R * T = 72, где R - скорость роста (например, процентная ставка), T - время удвоения (например, время, необходимое для удвоения суммы вклада).
2. 2 Подставьте значение R, т.е. скорости роста. Например, какое время займет удвоение вклада со 3500 рублей до 7000 рублей при процентной ставке 5% в год? Подставив в формулу R = 5, получаем 5 * T = 72.
3. 3 Решите уравнение относительно неизвестной переменной. В нашем примере поделите обе стороны равенства на R = 5, получится T = 72/5 = 14,4. Таким образом, пройдет 14,4 лет, прежде чем сумма в 3500 рублей вырастет до 7 тысяч рублей при процентной ставке 5% в год.
4. 4 Посмотрите на эти дополнительные примеры:
   • За какое время данное количество денег удвоится при 10% годовой ставке? Рассчитываем 10 * T = 72, т.е. через T = 7,2 лет.
   • Какое время понадобится, чтобы 3500 рублей выросли до 56 тысяч рублей при годовой ставке 7.2%? Заметьте, что для роста со 3500 рублей до 56 тысяч рублей достаточно 4 умножений на 2 (3500 рублей умноженное на 2 дает 7000 рублей, рублей на 2 - 14 тысяч, 14 тысяч на 2 - 28 тысяч и умножение тысяч на 2 дает 56 тысяч рублей). Для каждого умножения 7.2 * T = 72, так что T = 10. Помножив это на 4, получаем в результате 40 лет.

Оценка скорости роста

1. 1 Пусть R * T = 72, где R - скорость роста (например, процентная ставка), T - время удвоения (например, время, за которое сумма денег вырастает в 2 раза).
2. 2 Подставьте в уравнение величину времени удвоения T. Например, если вы хотите удвоить ваши деньги за 10 лет, какая процентная ставка необходима? Подставив T = 10, получаем R * 10 = 72.
3. 3 Решите уравнение относительно неизвестной переменной. В нашем примере мы делим обе части равенства на T = 10, получаем R = 72/10 = 7,2. Таким образом, вам понадобится процентная ставка 7,2% в год, чтобы удвоить ваши деньги за 10 лет.

Метод 2 из 2: Оценка экспоненциального падения

1. 1 Оцените время, за которое вы можете потерять половину капитала, например, в случае инфляции. Решаем T = 72/R, подставляя значение R таким же образом, как мы это делали выше для экспоненциального роста (это практически та же формула удвоения, но теперь, вместо увеличения суммы, вы рассчитываете ее сокращение), например:
   • За какое время 3500 рублей уменьшатся до 1750 рублей при уровне инфляции 5%?
     • Подставляем 5 * T = 72, т.е. 72/5 = T, так что T = 14,4 лет, через такое время вы сможете купить на свои деньги в 2 раза меньше при уровне инфляции 5%.
2. 2 Оценим скорость падения за определенный промежуток времени: R = 72/T, подставляем значение T точно так же, как мы это делали для роста, например:
   • Если покупательная способность 3500 рублей сокращается до эквивалента 1750 рублей через 10 лет, каков годовой уровень инфляции?
     • Подставляем R * 10 = 72, где T = 10, и находим R = 72/10 = 7,2%.
3. 3 Внимание! выше учитывалась лишь общая тенденция (или средняя величина) инфляции – всякие "неожиданности", колебания либо чрезвычайные случаи просто игнорировались.

Советы

• Следствие Феликса из Правила 72 используют для примерного вычисления будущей величины ежегодной ренты (регулярного дохода). Оно гласит, что будущая величина ежегодных выплат, при которых произведение процентной ставки на число выплат равно 72, может быть примерно оценена путем умножения суммы выплат на 1,5. Например, 12 периодических выплат по 35 тысяч рублей при росте 6% за период после окончания этого периода будут оцениваться примерно в 600 тысяч рублей. Это применение следствия Феликса к Правилу 72, поскольку 6 (процентная ставка) умноженное на 12 (число выплат) равно 72, следовательно, годовой доход составит примерно 1,5, умноженное 12 раз на 35 тысяч рублей.
• Число 72 выбрано в качестве удобного значения числителя, поскольку оно делится без остатка на многие малые числа, такие как 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12. Такой выбор обеспечивает хорошую апроксимацию годовых выплат, а также вычисление сложного процента для типичных процентных ставок (от 6 до 10%). При более высоких процентных ставках вычисления становятся менее точными.
• Используйте Правило 72, начав экономить прямо сейчас. При годовой процентной ставке 8% (примерная норма доходности на фондовом рынке) вы удвоите свои деньги за 9 лет (8 * 9 = 72), получите в 4 раза больше денег через 18 лет, и в 16 раз - через 36 лет.

Вывод закона

Периодическая капитализация процентов

1. Для периодической капитализации FV = PV (1 + r)^T, где FV -будущее значение, PV - количество процентов, r - скорость роста, T - время.
2. Если сумма денег удвоилась, т.е. FV = 2*PV, так что 2PV = PV (1 + r)^T, или 2 = (1 + r)^T, при условии что начальное (теперешнее) значение не равно нулю.
3. Значение T находим, беря натуральный логарифм от обеих частей равенства, и получаем T = ln(2) / ln(1 + r).
4. Ряд Тейлора для ln(1 + r) в окрестности 0 равен r - r2/2 + r3/3 - ... Для малых значений r вкладом членов высоких степеней можно пренебречь, и значение функции примерно равно r, так что t = ln(2) / r.
5. Заметьте, что ln(2) ~ 0,693, так что T ~ 0,693 / r (или T = 69,3 / R, если процентная ставка R выражена в процентах от 0 до 100%), т.е. имеем правило 69,3. Для облегчения расчетов используются другие числа, такие как 69, 70 и 72.

Непрерывная капитализация процентов

1. Для периодической капитализации с многочисленными годовыми выплатами будущая величина рассчитывается по формуле FV = PV (1 + r/n)^nT, где FV - будущее значение, PV - настоящее значение, r - процентная ставка, T - время, и n - число выплат в течение года. Для непрерывной капитализации значение n стремится к бесконечности. Используя определение числа е: e = lim (1 + 1/n)^n при n стремящемся к бесконечности, получаем FV = PV e^(rT).
2. Если сумма удвоилась, FV = 2*PV, так что 2PV = PV e^(rT), или 2 = e^(rT) при условии ненулевого начального значения.
3. Найдем T, взяв натуральный логарифм от обеих частей равенства, и получим T = ln(2)/r = 69,3/R (где R = 100r, если скорость роста выражена в процентах). Это правило 69,3.

• В случае непрерывных начислений 69,3 (приблизительно 69) дает более точные результаты, поскольку ln(2) равен примерно 69,3%, и R * T = ln(2), где R - скорость роста (или падения), T - время удвоения (или уменьшения вдвое) и ln(2) - натуральный логарифм двух . Числом 70 можно также пользоваться при примерном расчете непрерывного или ежедневного (т.е. близкого к непрерывному) роста для облегчения вычислений. Эти разновидности известны как правило 69,3, правило 69 и правило 70.
  • Схожим образом правило 69,3 применяется для более точного расчета при ежедневном росте: T = (69,3 + R/3) / R.
• Для оценки времени удвоения при более высоких скоростях роста откорректируйте число 72, прибавляя к нему по 1 на каждые 3 процента, превышающие 8%, то есть T = [72 + (R - 8%)/3] / R. Например, если процентная ставка составляет 32%, для удвоения суммы понадобится время T = [72 + (32 - 8)/3] / 32 = 2,5 года. Обратите внимание, здесь стоит 80 вместо 72 (использование 72 дало бы удвоение через 2,25 года).
• Ниже приведена таблица со значениями времени (в годах), через которые сумма удваивается при разных значениях процентной ставки. В таблице также сравниваются значения, полученные по разным правилам:

• Правило Экарта-МакХейла второго порядка, или правило Э-М, корректирует Правило 69,3 или 70 (но не 72), давая более точные результаты при высоких процентных ставках. Чтобы вычислить время по этому правилу, умножьте результат, полученный по Правилу 69,3 (или 70) на 200/(200-R), т.е. T = (69.3/R) * (200/(200-R)). Например, если ставка равна 18%, Правило 69,3 дает t = 3,85 лет. Умножая по Правилу Э-М на 200/(200-18) для времени удвоения, получим 4,23 года, что ближе к точному значению 4,19 года для данной скорости роста.
  • Правило Паде третьего порядка дает еще более точные результаты, при этом используется корректировочный множитель (600 + 4R) / (600 + R), т.е. T = (69,3/R) * ((600 + 4R) / (600 + R)). Если процентная ставка 18%, по этому правилу получим T = 4,19 года.

Предупреждения

• Не позволяйте Правилу 72 работать против вас, беря деньги в долг с высокими процентами. Избегайте задолженности по кредитной карте! При средней ставке 18% такая задолженность удвоится всего за 4 года (18 * 4 = 72), учетверится лишь за 8 лет и продолжит быстро расти со временем. Избегайте задолженности по кредитной карте как чумы.