Как алгебраически найти обратную функцию

Математические функции, обычно обозначаемые как f(x) или g(x), можно представить как порядок выполнения математических операций, которые позволят вам прийти от «x» к «y». Обратная функция f(x) записывается как f-1(x). Нахождение обратной функции – несложный процесс в случае простых функций.

Шаги

1. 1 Полностью перепишите функцию, заменив f(x) на y. При этом «у» должна находиться на одной стороне функции, а «х» - на другой. Если вам дана функция вида 2 + y = 3x2, вам необходимо изолировать «у» на одной стороне, а «х» - на другой.
2. Пример. Перепишем данную функцию f(x) = 5x - 2 как y = 5x - 2. f(x) и «y» взаимозаменяемы.
3. f(x) - это стандартная запись функции, но если вы имеете дело с несколькими функциями, то каждой из них нужно будет присвоить свою букву, чтобы их было легче отличать друг от друга. Например, часто функции обозначают как g(x) и h(x).
4. 2 Найдите «x». Другими словами, выполните математические операции, необходимые для изолирования «x» по одну сторону от знака равенства. Основные алгебраические принципы: если «х» имеет числовой коэффициент, то разделите обе стороны функции на этот коэффициент; если к члену с «х» прибавляется некоторый свободный член, вычтите его с обеих сторон функции (и так далее).
5. Помните, что вы можете применять любую операцию по отношению к одной из сторон уравнения только в том случае, если вы применяете ту же операцию по отношению ко всем членам по обе стороны от знака равенства.
6. В нашем примере добавьте 2 к обеим частям уравнения. Вы получите y + 2 = 5x. Затем разделите обе части уравнения на 5 и получите (y + 2)/5 = x. И, наконец, перепишите уравнение с «x» в левой части: x = (y + 2)/5.
7. 3 Поменяйте переменные, заменив «x» на «y» и наоборот. Результатом будет функция, обратная исходной. Другими словами, если мы подставим значение «х» в исходное уравнение и найдем значение «у», то подставив это значение «у» в обратную функцию, мы получим значение «х».
8. В нашем примере вы получите y = (x + 2)/5.
9. 4 Замените «у» на f-1(x). Обратные функции обычно записываются в виде f-1(x) = (члены с «x»). Следует отметить, что в данном случае -1 – это не показатель степени; это просто обозначение обратной функции.
10. Так как «х» в -1 степени равно 1/х, то f-1(x) – это форма записи 1/f(х), что также обозначает функцию, обратную f(х).
11. 5 Проверьте вашу работу, вместо «х» подставив постоянное значение в исходную функцию. Если вы правильно нашли обратную функцию, подставив в нее значение «у», вы найдете подставленное значение «х».
12. Например, подставьте х = 4. Вы получите f(x) = 5(4) - 2 или f(x) = 18.
13. Теперь подставьте 18 в обратную функцию и получите y = (18 + 2)/5 = 20/5 = 4. То есть у = 4. Это подставленное значение «x», поэтому вы правильно нашли обратную функцию.

Советы

• Когда вы выполняете алгебраические операции над вашими функциями, вы можете свободно заменять f(x) = y и f^(-1)(x) = y в обоих направления. Но прямая запись обратной функции может внести путаницу, поэтому придерживайтесь записи f(x) или f^(-1)(x), которая поможет вам отличить их друг от друга.
• Обратите внимание, что обратная функция обычно (но не всегда) является функциональной зависимостью.